Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение прямоугольного треугольника

Определение и формулы для решения прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.
Решение прямоугольного треугольника

Решение треугольников заключается в отыскании всех неизвестных сторон и всех неизвестных углов треугольника по известным данным.

В произвольном треугольнике для решения треугольников используют теорему синусов и терему косинусов.

Для решения прямоугольного треугольника используют определения основных тригонометрических функций через стороны треугольника.

В прямоугольном треугольнике ABC с \angle C=90^{\circ} ,\ \angle A=\alpha ,\ \angle B=\beta, гипотенузой AB=c и катетами AC=b и BC=a

    \[\sin \alpha =\cos \beta =\frac{BC}{AB} =\frac{a}{c} ,\ \cos \alpha =\sin \beta =\frac{AC}{AB} =\frac{b}{c} ,\]

    \[ \text{tg}\alpha = \text{ctg} \beta =\frac{BC}{AC} =\frac{a}{b} ,\ \text{ctg}\alpha = \text{tg}\beta =\frac{AC}{BC} =\frac{b}{a} \]

Теорема Пифагора:

    \[AC^{2} +BC^{2} =AB^{2} \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} =c^{2} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой BC=5 см и \angle B=60^{\circ} найти все неизвестные стороны и углы.
Пример 1, решение прямоугольного треугольника
Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Поскольку известна длина гипотенузы и один из острых углов, то можно найти длины катетов:

    \[AC=BC\cdot \sin \angle B=5\cdot \sin 60^{\circ} =\frac{5\sqrt{3}}{2}\ cm\]

    \[AB=BC\cdot \cos \angle B=5\cdot \cos 60^{\circ} =\frac{5}{2}\ cm\]

Найдем величину угла C:

    \[\angle C=90^{\circ} -60^{\circ} =30^{\circ} \]

Ответ AC=\frac{5\sqrt{3}}{2}\ cm,\ AB=\frac{5}{2}\ cm,\ \angle C=30^{\circ}
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике со сторонами 3 см, 3 см и 3\sqrt{2} см найти величину острых углов.
Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a=3 см, b=3 см и гипотенузой c=3\sqrt{2} см. Поскольку две стороны треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным, т.е. его острые углы равны между собой. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^{\circ}, то на каждый из них приходится по 45^{\circ}.
Ответ 45^{\circ},\ 45^{\circ}