Разносторонний тупоугольный треугольник
Определение и формулы разностороннего тупоугольного треугольника
Если в тупоугольном треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник является разносторонним тупоугольным треугольником.
Свойство тупоугольного треугольника: медиана тупоугольного треугольника, проведённая из вершины тупого угла, меньше половины стороны, на которую она опущена.
В разностороннем тупоугольном треугольнике выполняется неравенство треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
Примеры решения задач
Задание | Выяснить, является ли треугольник тупоугольным, если его стороны равны см, см и см. |
Решение | Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то запишем теорему косинусов для стороны :
откуда . Поскольку значение косинуса отрицательное, то угол – тупой. |
Ответ | Заданный треугольник тупоугольный. |
Задание | Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вершин острых углов, – на продолжениях сторон. |
Доказательство: | Сделаем рисунок:
Предположим противное: пусть в треугольнике с тупым углом основание высоты лежит на стороне . Тогда в прямоугольном треугольнике есть тупой угол, что невозможно. Значит, основание высоты лежит на продолжении стороны АС. Теперь допустим, что в том же треугольнике основание высоты лежит на продолжении стороны , например, за точкой . Так как – острый, то угол смежный с ним – тупой. Тогда в прямоугольном треугольнике есть тупой угол. Это невозможно, поэтому точка лежит на стороне . Что и требовалось доказать. |