Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Разносторонний тупоугольный треугольник

Определение и формулы разностороннего тупоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тупоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов тупой (т.е. больше 90 градусов).

Если в тупоугольном треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник является разносторонним тупоугольным треугольником.

Разносторонний тупоугольный треугольник

Свойство тупоугольного треугольника: медиана тупоугольного треугольника, проведённая из вершины тупого угла, меньше половины стороны, на которую она опущена.

В разностороннем тупоугольном треугольнике выполняется неравенство треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

    \[AC<AB+BC,\ AB<AC+BC,\ BC<AB+AC\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Выяснить, является ли треугольник тупоугольным, если его стороны равны a=11 см, b=4 см и c=9 см.
Решение Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то запишем теорему косинусов для стороны a:

    \[a^{2} =b^{2} +c^{2} -2bc\cos \alpha ,\]

    \[121=16+81-2\cdot 4\cdot 9\cdot \cos \alpha ,\]

    \[-72\cos \alpha =24,\]

откуда \cos \alpha =-\frac{1}{3}. Поскольку значение косинуса отрицательное, то угол \alpha – тупой.

Ответ Заданный треугольник тупоугольный.
ПРИМЕР 2
Задание Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вершин острых углов, – на продолжениях сторон.
Доказательство: Сделаем рисунок:
Примеры 2, разносторонний тупоугольный треугольник

Предположим противное: пусть в треугольнике ABC с тупым углом A основание высоты BK лежит на стороне AC. Тогда в прямоугольном треугольнике AKB есть тупой угол, что невозможно. Значит, основание высоты BK лежит на продолжении стороны АС.

Теперь допустим, что в том же треугольнике основание высоты AN лежит на продолжении стороны BC, например, за точкой C. Так как \angle C – острый, то угол смежный с ним – тупой. Тогда в прямоугольном треугольнике CNA есть тупой угол. Это невозможно, поэтому точка N лежит на стороне BC.

Что и требовалось доказать.