Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Разносторонний прямоугольный треугольник

Определение и формулы разностороннего прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется разносторонним, если все его стороны имеют разную длину.

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Разносторонний прямоугольный треугольник

Стороны, образующие прямой угол называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если все стороны прямоугольного треугольника имеют различные длины, то такой треугольник называется разносторонним прямоугольным треугольником.

Для разностороннего прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Теорема Пифагора. В разностороннем прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
  •     \[AC^{2} +AB^{2} =BC}^{2}} \]

  • Сумма острых углов разностороннего прямоугольного треугольника равна 90^{\circ}:
  •     \[\angle B+\angle C=90^{\circ} \]

  • Гипотенуза треугольника больше каждого из катетов:
  •     \[BC>AC,\ BC>AB\]

  • Катет, лежащий против угла 30^{\circ}, равен половине гипотенузы.
  • Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
  • Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике со сторонами 3 см, 3\sqrt{3} см и 6 см определить какую длину имеет гипотенуза, и найти величины острых углов.
Решение В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше каждого из катетов, поэтому она имеет длину 6 см, а катеты по 3 см и 3\sqrt{3} см. Поскольку один из катетов равен половине гипотенузы, то он лежит против угла 30^{\circ}. Тогда второй острый угол равен

    \[90^{\circ} -30^{\circ} =60^{\circ} \]

Ответ 6 см, 30^{\circ},\ 60^{\circ}
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике с катетами AB=6 см и AC=8 см найти радиус описанной окружности.
Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A (рис.1). С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу BC:

    \[BC=\sqrt{AB^{2} +AC^{2}} =\sqrt{36+64} =\sqrt{100} =10 cm \]

Поскольку центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, то ее радиус равен половине гипотенузы, т.е.

    \[R=\frac{1}{2} BC=5cm\]

Ответ R=5 см