Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Определение и формулы равнобедренного прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой. Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.

Если катеты прямоугольного треугольника равны, то такой треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Для равнобедренного прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны по 45^{\circ };
  • Теорема Пифагора. В равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета:

        \[2AC^{2} =BC^{2}} \]

  • Сумма острых углов такого треугольника равна 90^{\circ }:

        \[\angle B}+\angle C=90^{\circ} \]

  • Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:

        \[AC<BC,\ AB<BC\]

  • Две высоты равнобедренного прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
  • Центр описанной окружности вокруг равнобедренного прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
  • Медиана равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является биссектрисой и высотой, а также радиусом описанной около этого треугольника окружности:
  •     \[AM=R\]

Тригонометрические соотношения в равнобедренном прямоугольном треугольнике

    \[\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} ,\ \sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} ,\  \text{tg}\alpha =1,\  \text{ctg} \alpha =1\]

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом длины a вычисляется по формуле:

    \[S=\frac{1}{2} a^{2} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC катет AC=4 см. Найти гипотенузу BC.
Решение Поскольку заданный в условии задачи треугольник равнобедренный и прямоугольный, значит, его катеты равны, то есть

    \[AB=AC=4 cm \]

Пример 1, равнобедренный прямоугольный треугольник

А квадрат гипотенузы BC в два раза больше квадрата катета:

    \[BC^{2}} =2AC^{2} =2\cdot 16=32,\]

тогда

    \[BC=\sqrt{32} =\sqrt{2\cdot 16} =4\sqrt{2} cm \]

Ответ BC=4\sqrt{2} см
ПРИМЕР 2
Задание В равнобедренном треугольнике ABC угол A – прямой, BC=6 см. Найти площадь \Delta ABC.
Решение Запишем для прямоугольного треугольника ABC теорему Пифагора:

    \[BC^{2} =AC^{2} +AB^{2} \]

Так как этот треугольник равнобедренный, то AB=AC. Тогда

    \[BC^{2} =6^{2} =2AC^{2} \Rightarrow 2AC^{2} =36\Rightarrow AC^{2} =18\]

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине квадрата катета, то есть

    \[S=\frac{AC^{2}}{2} =\frac{18}{2} =9 cm ^{2} \]

Ответ S=9 см ^{2}