Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Признаки подобия треугольников и свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольники называются подобными, если у них равны углы и пропорциональны стороны (рис. 1).
Признаки подобия треугольников

Рис.1

Признаки подобия треугольников

I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольниках ABC и A_{1} B_{1} C_{1}\ \angle A=\angle A_1, каждая из сторон AB и AC составляет 0,6 сторон {A_1B_{1} и A_1C_{1} соответственно. Найти стороны BC и B_1C_1, если их сумма равна 48 см.
Решение Сделаем рисунок.
Поскольку в треугольниках ABC и A_{1} B_{1} C_{1} две пары соответствующих сторон пропорциональны с коэффициентом пропорциональности 0,6, а углы, образованные этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны. Следовательно, стороны BC и B_{1} C_{1} также пропорциональны, т.е.

    \[BC=0,6\cdot B_{1} C_{1} \]

и по условию BC+B_{1} C_{1} =48. Из этих равенств следует, что

1,6\cdot B_{1} C_{1} =48 или B_{1} C_{1} =30 см

Тогда BC=0,6\cdot 30=18 см.

Ответ BC=18 см,\ B_{1} C_{1} =30 см
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC известны стороны AB=8 см,\ BC=12 см,\ AC=16 см. На стороне AC отмечена точка D так, что CD=9 см. Найти BD.
Решение Рассмотрим треугольники ABC и BDC с общим углом C. Найдем отношения известных соответствующих сторон:

    \[\frac{BC}{DC} =\frac{12}{9} =\frac{4}{3} , \frac{AC}{BC} =\frac{16}{12} =\frac{4}{3} \]

Получаем, что две пары соответствующих сторон пропорциональны, а значит, треугольники ABC и BDC подобны. Следовательно,

    \[\frac{AB}{BD} =\frac{8}{BD} =\frac{4}{3} ,\]

откуда BD=6 см.

Ответ BD=6 см