Признаки подобия прямоугольных треугольников

Признак 1. (По острому углу). Если прямоугольные треугольники имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Замечание. У прямоугольного треугольника один угол прямой, поэтому для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

Признак 2. (По двум катетам). Если катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны катетам второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Признак 3. (По катету и гипотенузе). Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В треугольнике $ABC$ с $\angle =90^{\circ}$ и $AC=4$ см провели отрезок $MK\bot AB$ , который делит сторону $AB$ на отрезки 3 см и 5 см. Найти $MK$ .

Решение

Сделаем рисунок.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBK$ , они прямоугольные и имеют общий угол $B$ , а значит эти треугольники подобны. Найдем коэффициент подобия треугольников. В треугольнике $ABC$ сторона $AB=3+5=8$ см. Найдем отношение сторон $AB$ и $MB$ :

$\frac{MB}{AB} =\frac{5}{8} =k$

Тогда искомая сторона $MK=k\cdot AC=\frac{5}{8} \cdot 4=2,5$ см.

Ответ

$MK=2,5$ см

ПРИМЕР 2

Задание

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $A$ , сторонами $AB=4$ см $,\ BC=8$ см и высотой $AK$ найти отрезки $KB$ и $KC$ .

Решение

Сделаем рисунок.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $KBA$ и $ABC$ . Эти треугольники подобны, т.к. $\angle B$ – их общий угол. Запишем отношения соответствующих катетов и гипотенуз данных треугольников:

$\frac{KB}{AB} =\frac{AB}{BC}$