Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружностью, вписанной в треугольник, называется окружность, которая касается всех трех сторон треугольника.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем, только одну.

Рассмотрим окружность, вписанную в равнобедренный треугольник (тот, у которого две стороны равны между собой)

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник можно вычислить по стандартной формуле

    \[r=\frac{S}{p} ,\]

а также его можно выразить через стороны a и b следующим образом:

    \[r=\frac{b}{2} \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 6 см, а радиус вписанной окружности 4 см.
Пример окружности вписанной в равнобедренный треугольник
Решение Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC=10 см. Воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности

    \[r=\frac{AC}{2} \sqrt{\frac{2AB-AC}{2AB+AC}} \]

и подставим в нее известные данные

    \[r=\frac{10}{2} \sqrt{\frac{2AB-10}{2AB+10}} =4\]

Из последнего равенства найдем AB:

    \[\sqrt{\frac{2AB-10}{2AB+10}} =\frac{4}{5} \Rightarrow \frac{2AB-10}{2AB+10} =\frac{16}{25} \ \Rightarrow \ 50AB-250=32AB+160\ \Rightarrow \]

    \[\Rightarrow \ AB=\frac{410}{18} =22\frac{7}{9} cm\]

Ответ AB=22\frac{7}{9} см
ПРИМЕР 2
Задание Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, если точка касания окружности и боковой стороны делит ее на отрезки 8 см и 5 см, считая от вершины, противоположной основанию.
Решение Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, в который вписана окружность. Точка K – точка касания окружности и боковой стороны BC такая, что BK=8 см, KC=5 см. Тогда

    \[BC=BK+KC=8+5=13 cm \]

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности,

    \[CH=CK=5 cm \]

Тогда высоту BH можно найти из прямоугольного треугольника BHC по теореме Пифагора:

    \[BH=\sqrt{BC^{2} -CH^{2}} =\sqrt{13^{2} -5^{2}} =\sqrt{169-25} =\sqrt{144} =12 cm \]

Поскольку треугольник ABC – равнобедренный, то

    \[AC=2CH=10 cm \]

Найдем площадь треугольника ABC:

    \[S=\frac{1}{2} \cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2} \cdot 10\cdot 12=60 cm ^{2} \]

и полупериметр

    \[p=\frac{AB+BC+AC}{2} =\frac{13+13+10}{2} =18 cm \]

Тогда

    \[r=\frac{S}{p} =\frac{60}{18} =\frac{10}{3} cm \]

Ответ r=\frac{10}{3} см