Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Определение и формулы описанной окружности прямоугольного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Окружность, описанная около треугольника, содержит все вершины треугольника.
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы

    \[R=\frac{c}{2} \]

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема синусов:

    \[\frac{a}{\sin \alpha } =\frac{b}{\sin \beta } =c=2R,\]

где R – радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности, a,\ b – катеты этого треугольника, c – его гипотенуза, \alpha,\ \beta – острые углы треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике один из катетов на 2 см больше другого. Найти площадь треугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см.
Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с \angle A=90^{\circ} (рис. 1). Пусть катет AB=x, тогда AC=x+2. Поскольку радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то гипотенуза BC=2\cdot 5=10cm. Запишем теорему Пифагора для рассматриваемого прямоугольного треугольника:

    \[AB^{2} +AC^{2} =BC^{2} \]

или

    \[x^{2} +(x+2)^{2} =10^{2} \]

Решая квадратное уравнение 2x^{2} +4x-96=0, получаем x=6, т.е. AB=6cm, а AC=x+2=8 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.

    \[S=\frac{AB\cdot AC}{2} =\frac{1}{2} \cdot 6\cdot 8=24 cm ^{2} \]

Ответ S=24 см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание В прямоугольном треугольнике медиана a, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол в отношении 2:1. Найти катеты треугольника.
Пример окружности описанной около прямоугольного треугольника
Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC\ (\angle A=90^{\circ}) и проведем медиану AM. Так как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине гипотенузы, то медиана AM является радиусом описанной окружности и

    \[AM=BM=MC=a\]

Пусть \angle MAC=x, тогда из условия задачи следует, что \angle BAM=2x и

    \[x+2x=90^{\circ} \Rightarrow 3x=90^{\circ} \Rightarrow x=30^{\circ} \]

Отсюда получаем, что \angle BAM=60^{\circ}.

Поскольку AM=BM=a, то \Delta ABM – равнобедренный, а значит \angle ABM=\angle BAM=60^{\circ} и

    \[\angle BMA=180^{\circ} -120^{\circ} =60^{\circ} \]

А это означает, что \Delta ABM – равносторонний, т.е. AB=a. Тогда по теореме Пифагора

    \[AC=\sqrt{BC^{2} -AB^{2}} =\sqrt{\left(2a\right)^{2} -a^{2}} =\sqrt{4a^{2} -a^{2}} =\sqrt{3} a\]

Ответ AB=a,\ AC=\sqrt{3} a