Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Медиана в равностороннем треугольнике

Определение и формулы медианы равностороннего треугольника

Медиана в равностороннем треугольнике
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Для медиан равностороннего треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. на треугольники с одинаковой площадью).
  • Весь треугольник делится своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Медиана, проведенная к стороне a, вычисляется по формуле:
  •     \[m_{a} =\frac{\sqrt{3} a}{2} ,\]

где a – сторона равностороннего треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равностороннем треугольнике ABC медиана AL=3 см. Найти площадь этого треугольника.
Пример 1, медиана в равностороннем треугольнике
Решение В равностороннем треугольнике все стороны равны. Зная длину медианы, можно найти сторону рассматриваемого треугольника:

    \[AL=\frac{\sqrt{3}}{2} BC \ \Rightarrow \ BC=AL:\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{6}{\sqrt{3}} =\frac{6\sqrt{3}}{3} =2\sqrt{3} cm \]

Тогда площадь треугольника ABC будет равна:

    \[S=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot BC^{2} =\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2\sqrt{3} )^{2} =3\sqrt{3} \ cm^{2} \]

Ответ S=3\sqrt{3} см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание В равностороннем треугольнике ABC провели медианы AL и BK, которые пересекаются в точке O. Площадь образованного треугольника AOK равна 6\sqrt{3} \ cm ^{2}. Найти сторону треугольника ABC.
Пример 2, медиана в равностороннем треугольнике
Решение Из свойств медианы следует, что треугольник делится своими медианами на шесть равновеликих треугольников. Поэтому площадь треугольника в шесть раз больше, чем площадь треугольника AOK:

    \[S_{\Delta ABC} =6\cdot S_{\Delta AOK} =6\cdot 6\sqrt{3} =36\sqrt{3} cm ^{2} \]

А зная площадь равностороннего треугольника можно найти длину его стороны:

    \[AB^{2} =\frac{4S}{\sqrt{3}} =\frac{144\sqrt{3}}{\sqrt{3}} =144,\]

откуда

    \[AB=12 cm \]

Ответ AB=12 см