Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Центр треугольника

Центры треугольника

В треугольнике можно определить несколько понятий «центра». Это ортоцентр, инцентр и центр тяжести (или центроид).

Центр треугольника

Инцентр треугольника – это точка пересечения биссектрис треугольника. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника (рис. 1).

Инцентр треугольника

Ортоцентр треугольника – это точка пересечения трех высот треугольника или их продолжений (рис. 2). Ортоцентр может находиться внутри треугольника (для остроугольных треугольников), вне треугольника (для тупоугольных треугольников) или находиться в вершине прямого угла (для прямоугольных треугольников).

Ортоцентр треугольника

Центр тяжести (центроид) треугольника – точка пересечения медиан треугольника (рис. 3). Центр тяжести делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC), точка H – ортоцентр. Высота AK=9 см, а отрезок AH=6 см. Найти площадь треугольника ABC.
Пример 1, центр треугольника
Решение Высота BM в равнобедренном треугольнике ABC является медианой, т.е. AC=2AM. Из подобия треугольников AMN и AKC следует, что

    \[AM:6=9:2AM\]

откуда AM^{2} =27. Из прямоугольного треугольника AHM

    \[HM=\sqrt{AH^{2} -AM^{2}} =\sqrt{36-27} =3 cm \]

Из подобия треугольников ABM и AHM следует, что

BM:AM=AM:MH или BM:\sqrt{27} =\sqrt{27} :3

откуда BM=9 см.

Тогда площадь треугольника ABC равна

    \[S=\frac{1}{2} AC\cdot BM=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{27} \cdot 9=27\sqrt{3} cm ^{2} \]

Ответ S=27\sqrt{3} см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами A(4,5),\ B(-1,9) и C(0,3).
Решение Рассмотрим треугольник ABC. Найдем координаты середин сторон AC и AB соответственно:

    \[M\left(\frac{4+0}{2} ,\frac{5+3}{2} \right)\; \Rightarrow M(2,4),\]

    \[P\left(\frac{4-1}{2} ,\frac{5+9}{2} \right)\; \Rightarrow P\left(1,5;7\right)\]

Найдем уравнения медиан CP и BM:

    \[\left(CP\right):\frac{x-0}{1,5-0} =\frac{y-3}{7-3} \Rightarrow y=\frac{8}{3} x+3\]

    \[\left(BM\right):\frac{x+1}{2+1} =\frac{y-9}{4-9} \Rightarrow y=-\frac{5}{3} x+\frac{22}{3} \]

Найдем точку пересечения этих прямых как решение системы уравнений

    \[\left\{\begin{array}{l} {y=\frac{8}{3} x+3,} \\ {y=-\frac{5}{3} x+\frac{22}{3}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=1,} \\ {y=\frac{17}{3} .} \end{array}\right. \]

Таким образом, имеем точку O\left(1;\frac{17}{3} \right).

Ответ O\left(1;\frac{17}{3} \right)