Центр треугольника
Центры треугольника
В треугольнике можно определить несколько понятий «центра». Это ортоцентр, инцентр и центр тяжести (или центроид).
Инцентр треугольника – это точка пересечения биссектрис треугольника. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника (рис. 1).
Ортоцентр треугольника – это точка пересечения трех высот треугольника или их продолжений (рис. 2). Ортоцентр может находиться внутри треугольника (для остроугольных треугольников), вне треугольника (для тупоугольных треугольников) или находиться в вершине прямого угла (для прямоугольных треугольников).
Центр тяжести (центроид) треугольника – точка пересечения медиан треугольника (рис. 3). Центр тяжести делит медиану в отношении , считая от вершины
Примеры решения задач
Задание | В равнобедренном треугольнике (), точка – ортоцентр. Высота см, а отрезок см. Найти площадь треугольника .
|
Решение | Высота в равнобедренном треугольнике является медианой, т.е. . Из подобия треугольников и следует, что
откуда . Из прямоугольного треугольника
Из подобия треугольников и следует, что или откуда см. Тогда площадь треугольника равна
|
Ответ | см |
Задание | Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами и . |
Решение | Рассмотрим треугольник . Найдем координаты середин сторон и соответственно:
Найдем уравнения медиан и :
Найдем точку пересечения этих прямых как решение системы уравнений
Таким образом, имеем точку . |
Ответ |