Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Площадь треугольника через синус

Определение и формула площади треугольника через синус

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Треугольником называется фигура, состоящая из трех вершин и трех сторон.
Треугольник

Существует много формул для вычисления площади треугольника. Если известны длины двух сторон треугольника и угол между этими сторонами, то для вычисления площади треугольника удобно пользоваться следующей формулой

    \[S=\frac{1}{2} a\cdot b\cdot \sin \alpha , \]

где a,\ b – стороны треугольника, \alpha – угол между сторонами a и b.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти площадь треугольника со сторонами 4 см и 6 см, если угол между этими сторонами равен 30^{\circ}.
Решение Площадь треугольника будем искать как полупроизведение сторон треугольника на синус угла между ними:

    \[S=\frac{1}{2} a\cdot b\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2} \cdot 4\cdot 6\cdot \sin 30^{\circ} =12\cdot \frac{1}{2} =6 cm ^{2} \]

Ответ S=6 см ^{2}
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC угол \angle A=45^{\circ}, а сторона AB на 2 см больше стороны AC. Найти длины сторон AB и AC треугольника, если его площадь равна 2\sqrt{2} cm ^{2}.
Решение Обозначим сторону AB через x, тогда сторона AC будет равна (x-2). Запишем формулу для площади треугольника

    \[S=\frac{1}{2} \cdot AB\cdot AC\cdot \sin \angle A\]

и подставим в нее известные данные:

    \[S=\frac{1}{2} \cdot x\cdot (x-2)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =2\sqrt{2} \]

Площадь треугольника через синус

Преобразуем последнее уравнение и получим квадратное уравнение

    \[x^{2} -2x-8=0\]

Корнями полученного уравнения будут x_{1} =4 и x_{2} =-2. По смыслу задачи подходит только первый корень. Тогда AB=4 см, а AC=4-2=2 см.

Ответ AB=4 см, AC=2 см.