Площадь треугольника через синус

Определение и формула площади треугольника через синус

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Треугольником называется фигура, состоящая из трех вершин и трех сторон.

Существует много формул для вычисления площади треугольника. Если известны длины двух сторон треугольника и угол между этими сторонами, то для вычисления площади треугольника удобно пользоваться следующей формулой

$S=\frac{1}{2} a\cdot b\cdot \sin \alpha ,$

где $a,\ b$ – стороны треугольника, $\alpha$ – угол между сторонами $a$ и $b$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти площадь треугольника со сторонами $4$ см и $6$ см, если угол между этими сторонами равен $30^{\circ}$ .
Решение	Площадь треугольника будем искать как полупроизведение сторон треугольника на синус угла между ними: $S=\frac{1}{2} a\cdot b\cdot \sin \alpha =\frac{1}{2} \cdot 4\cdot 6\cdot \sin 30^{\circ} =12\cdot \frac{1}{2} =6 cm ^{2}$
Ответ	$S=6$ см $^{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

В треугольнике $ABC$ угол $\angle A=45^{\circ}$ , а сторона $AB$ на $2$ см больше стороны $AC$ . Найти длины сторон $AB$ и $AC$ треугольника, если его площадь равна $2\sqrt{2} cm ^{2}$ .