Площадь окружности

Площадь окружности вычислить нельзя, окружность имеет лишь длину, но можно вычислить площадь круга, ограниченного окружностью заданного радиуса $r$ . Таким образом, задача сводиться к отысканию площади круга. Для площади круга радиуса $r$ имеют место следующие формулы

или

где $d=2r$ – диаметр.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти площадь участка плоскости, ограниченного окружностью радиуса $\sqrt{2}$ см.
Решение	Часть плоскости ограниченной окружностью заданного радиуса есть круг радиуса $\sqrt{2}$ . Для нахождения круга радиуса $r$ будем использовать формулу $S = \pi r^{2}$ . Подставляя в неё $r = \sqrt{2}$ , окончательно получим $S = \pi \cdot \left( \sqrt{2}\right)^{2} = 2 \pi$ (см $^{2}$ )
Ответ	$S=2 \pi$ см $^{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Вокруг квадрата со стороной $2 \sqrt{2}$ см описана окружность. Найти площадь круга ограниченного этой окружностью.

Решение

Сделаем рисунок (рис. 1).

Диагональ $AC$ вписанного квадрата $ABCD$ является диаметром описанной вокруг него окружность. Найдем диагональ $AC$ . Так как $ABCD$ – квадрат, то треугольник $ACD$ прямоугольный. Запишем для него теорему Пифагора, выражая сторону $AC$ :

$AC = \sqrt{AD^{2}+CD^{2}}$

Подставляя значения $AD=CD=2 \sqrt{2}$ , получим

$AC = \sqrt{ \left( 2 \sqrt{2} \right)^{2} + \left( 2 \sqrt{2} \right)^{2}} = \sqrt{8+8} = \sqrt{16} = 4$ (см)

Далее для вычисления площади круга, ограниченного заданной окружностью, используем формулу: $S = \frac{\pi d^{2}}{4}$ . Подставляя в неё $d = AC = 4$ , получим