Формулы неподвижного блока

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неподвижным называют блок, ось которого является закрепленной и не перемещается при подъеме грузов. Условия равновесия блока определяют из условия равновесия моментов сил, которые к нему приложены.

Блок на рис.1 будет находиться в равновесии, если силы ${\overline{N}}_1={\overline{N}}_2$ , так как плечи этих сил одинаковы (ОА=ОВ). Блок – это рычаг, который имеет равные плечи. Блок, который представлен на рис.1 не дает выигрыша в силе, однако он позволяет изменять направление действия силы. Тянуть за веревку, которая идет сверху обычно удобнее, чем за веревку, которая идет снизу.

Допустим, что через блок, который является сплошным диском радиусом R и массой m, перекинута нерастяжимая нить, которая неспособна скользить по блоку. На нити повесили грузы массами $m_1$ и $m_2\ (m_1<m_2)$ (рис.2). Определим, каковы ускорения грузов ( $a_1$ и $a_2$ ) и разность натяжения нитей $N_2-N_1$ .

Уравнение движение груза номер один будет иметь вид:

$m_1\overline{g}{+}{\overline{N}}_1{=}m_1{\overline{a}}_1 \qquad (1),$

В проекции на ось Y, получим:

$m_1a_1=N_1-m_1g\ \qquad(2)$

Для второго груза сразу напишем уравнение движения в проекции на ось Y\^

${-m}_2a_2=N_2-m_2g\ \to m_2a_2=-N_2+m_2g \qquad(3)$

Так как мы считаем нить нерастяжимой, то ускорения первого и второго грузов одинаковы по модулю:

$a_1=a_2=a \qquad(4)$

Учтем равенство (4), сложим уравнения (2) и (3), получим:

$N_2-N_1={-m}_1a-m_2a+m_2g-m_1g \qquad(5)$

Далее необходимо рассмотреть уравнение вращательного движения блока. Моменты сил, которые создаются силами натяжения нити, имеют противоположные знаки, поэтому запишем:

$J\varepsilon =\left(N_2-N_1\right)R \qquad(6)$

где J – момент инерции блока; $\varepsilon =\frac{a}{R}$ – угловое ускорение блока. Выражение (6) преобразуем к виду:

$\frac{J}{R^2}a=N_2-N_1 \qquad(7)$

Из формул (5) и (7) имеем:

$a=\frac{m_2{-m}_1}{m_1+m_2+\frac{J}{R^2}}g\ (8);\ N_2-N_1=\frac{m_2{-m}_1}{\left(m_1+m_2\right)R^2+J}Jg \qquad(9)$

Если можно в задаче массу блока не учитывать (момент инерции блока мал), то можно считать, что выполняется условие:

$J\ll \left(m_1+m_2\right)R^2\left(10\right)$

то разность натяжений нитей существенно меньше разностей силы тяжести грузов. Для невесомого блока будем иметь следующие формулы:

$a=\frac{m_2{-m}_1}{m_1+m_2}g\ \left(11\right);\ N_2=N_1\ \left(12\right)$

Примеры решения задач по теме «Неподвижный блок»

ПРИМЕР 1

Задание

Через блок, имеющий массу $m=1$ кг, перекинута нерастяжимая нить. К концам нити привязаны грузы, имеющие массы $m_1=1$ кг и $m_2=15$ кг. С каким ускорением (a) будут перемещаться грузы, если блок считать сплошным диском?

Решение

Так как нить нерастяжима, то грузы будут двигаться с равными по величине ускорениями, но противоположно направленными. Так как по условию задачи блок имеет массу, для решения задачи используем формулу:

$a=\frac{m_2{-m}_1}{m_1+m_2+\frac{J}{R^2}}g\ \qquad(1.1)$

Момент инерции (J) сплошного диска относительно оси, проходящей через его центр масс равен:

$J=\frac{mR^2}{2}\ \qquad(1.2)$

Подставим выражение (1.2) в формулу (1.1), имеем:

$a=\frac{m_2{-m}_1}{m_1+m_2+\frac{m}{2}}g$

Вычислим ускорения грузов:

$a=\frac{15-1}{1+15+\frac{1}{2}}g=8,31\ \left(\frac{m}{c^2}\right)$

Ответ

$a=8,31\frac{m}{c^2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Машину Атвуда используют для рассмотрения законов равноускоренного движения тел. Она представляет собой два груза с разными массами, которые подвешены на почти невесомой нити, которая перекинута через неподвижный блок. Чему равны силы натяжения нити, если блок считать невесомым? Массы грузов равны $m_1$ и $m_2\ (m_1>m_2$ ).