Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы неподвижного блока

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неподвижным называют блок, ось которого является закрепленной и не перемещается при подъеме грузов. Условия равновесия блока определяют из условия равновесия моментов сил, которые к нему приложены.

Блок на рис.1 будет находиться в равновесии, если силы {\overline{N}}_1={\overline{N}}_2, так как плечи этих сил одинаковы (ОА=ОВ). Блок – это рычаг, который имеет равные плечи. Блок, который представлен на рис.1 не дает выигрыша в силе, однако он позволяет изменять направление действия силы. Тянуть за веревку, которая идет сверху обычно удобнее, чем за веревку, которая идет снизу.

Допустим, что через блок, который является сплошным диском радиусом R и массой m, перекинута нерастяжимая нить, которая неспособна скользить по блоку. На нити повесили грузы массами m_1 и m_2\ (m_1<m_2) (рис.2). Определим, каковы ускорения грузов (a_1 и a_2) и разность натяжения нитей N_2-N_1.

Уравнение движение груза номер один будет иметь вид:

    \[m_1\overline{g}{+}{\overline{N}}_1{=}m_1{\overline{a}}_1 \qquad (1),\]

В проекции на ось Y, получим:

    \[m_1a_1=N_1-m_1g\ \qquad(2)\]

Для второго груза сразу напишем уравнение движения в проекции на ось Y\^

    \[{-m}_2a_2=N_2-m_2g\ \to m_2a_2=-N_2+m_2g \qquad(3)\]

Так как мы считаем нить нерастяжимой, то ускорения первого и второго грузов одинаковы по модулю:

    \[a_1=a_2=a \qquad(4)\]

Учтем равенство (4), сложим уравнения (2) и (3), получим:

    \[N_2-N_1={-m}_1a-m_2a+m_2g-m_1g \qquad(5)\]

Далее необходимо рассмотреть уравнение вращательного движения блока. Моменты сил, которые создаются силами натяжения нити, имеют противоположные знаки, поэтому запишем:

    \[J\varepsilon =\left(N_2-N_1\right)R \qquad(6)\]

где J – момент инерции блока; \varepsilon =\frac{a}{R} – угловое ускорение блока. Выражение (6) преобразуем к виду:

    \[\frac{J}{R^2}a=N_2-N_1 \qquad(7)\]

Из формул (5) и (7) имеем:

    \[a=\frac{m_2{-m}_1}{m_1+m_2+\frac{J}{R^2}}g\ (8);\ N_2-N_1=\frac{m_2{-m}_1}{\left(m_1+m_2\right)R^2+J}Jg \qquad(9)\]

Если можно в задаче массу блока не учитывать (момент инерции блока мал), то можно считать, что выполняется условие:

    \[J\ll \left(m_1+m_2\right)R^2\left(10\right)\]

то разность натяжений нитей существенно меньше разностей силы тяжести грузов. Для невесомого блока будем иметь следующие формулы:

    \[a=\frac{m_2{-m}_1}{m_1+m_2}g\ \left(11\right);\ N_2=N_1\ \left(12\right)\]

Примеры решения задач по теме «Неподвижный блок»

ПРИМЕР 1
Задание Через блок, имеющий массу m=1 кг, перекинута нерастяжимая нить. К концам нити привязаны грузы, имеющие массы m_1=1 кг и m_2=15 кг. С каким ускорением (a) будут перемещаться грузы, если блок считать сплошным диском?
Решение Так как нить нерастяжима, то грузы будут двигаться с равными по величине ускорениями, но противоположно направленными. Так как по условию задачи блок имеет массу, для решения задачи используем формулу:

    \[a=\frac{m_2{-m}_1}{m_1+m_2+\frac{J}{R^2}}g\  \qquad(1.1)\]

Момент инерции (J) сплошного диска относительно оси, проходящей через его центр масс равен:

    \[J=\frac{mR^2}{2}\  \qquad(1.2)\]

Подставим выражение (1.2) в формулу (1.1), имеем:

    \[a=\frac{m_2{-m}_1}{m_1+m_2+\frac{m}{2}}g\]

Вычислим ускорения грузов:

    \[a=\frac{15-1}{1+15+\frac{1}{2}}g=8,31\ \left(\frac{m}{c^2}\right)\]

Ответ a=8,31\frac{m}{c^2}
ПРИМЕР 2
Задание Машину Атвуда используют для рассмотрения законов равноускоренного движения тел. Она представляет собой два груза с разными массами, которые подвешены на почти невесомой нити, которая перекинута через неподвижный блок. Чему равны силы натяжения нити, если блок считать невесомым? Массы грузов равны m_1 и m_2\ (m_1>m_2).
Решение Если блок считаю невесомым, то:

    \[N_1=N_2 \qquad(2.1)\]

Из рис.2 имеем:

    \[N=m_1(g-a)(2.2);\]

При этом ускорение грузов равно:

    \[a=\frac{m_1{-m}_2}{m_1+m_2}g\  \qquad(2.3)\]

Получим:

    \[{N=m}_1\left(g-\frac{m_1{-m}_2}{m_1+m_2}g\right)\]

Ответ N=\frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}