Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы электродинамики

Определение и формулы электродинамики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Электродинамика – это раздел физики, который рассматривает электромагнитное поле как вид материи, взаимодействие данного поля с заряженными телам, различные виды электромагнитных явлений (излучения, ток).

Обычно, когда говорят об электродинамике, то имеют ввиду классическую электродинамику, которая использует в своем описании систему уравнений Максвелла. Квантовую электродинамику рассматривают особо.

Формулы классической электродинамики

К основным формулам классической электродинамики отнесем:

Закон Кулона, записанный для двух точечных заряженных тел:

    \[\overline{F}=\frac{q_1q_2\overline{r}}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0r^3}=k\frac{q_1q_2\overline{r}}{\varepsilon r^3} \qquad(1)\]

где \overline{\ F} – сила электростатического взаимодействия зарядов; \varepsilon – диэлектрическая проницаемость среды (среда – безграничный, однородный газообразный или жидкий диэлектрик), в которой находятся точеные заряженные тела; {\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{\Phi}{m} – электрическая постоянная; \overline{r} –радиус-вектор, соединяющий точечные заряженные тела; q_1{,q}_2 – неподвижные точечные заряды; k=9\cdot {10}^9\frac{m}{\Phi}.

Определение напряженности (\overline{E}) электрического поля:

    \[\overline{E}=\frac{\overline{F}}{q} \qquad(2)\]

где \overline{F} – сила, с которой поле действует на статичный малый заряд q, который расположен в рассматриваемой точке поля.

Напряженность поля, которое создано точечным зарядом q, равна:

    \[\overline{E}=\frac{q\overline{r}}{4 \pi \varepsilon \varepsilon _0r^3} \qquad(3)\]

Принцип суперпозиции электрических полей:

    \[\overline{E}=\sum^n_{i=1}{{\overline{E}}_i} \qquad(4)\]

который обозначает, что напряжённость поля, созданная системой зарядов может быть найдена как геометрическая сумма отдельных напряженностей. Для непрерывного распределения зарядов, принцип суперпозиции записывают как:

    \[\overline{E}=\int{d\overline{E}} \qquad (5)\]

Формула электрического смещения (\overline{D}) для поля в вакууме:

    \[\overline{D}={\varepsilon }_0\overline{E} \qquad(6)\]

Диэлектрическое смещение для поля в диэлектрике:

    \[\overline{D}=\varepsilon_0\overline{E}+\overline{P} \qquad(7)\]

где \overline{P} – вектор поляризации. В случае изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью \varepsilon:

    \[\overline{D}={\varepsilon }_0\varepsilon \overline{E} \qquad(8)\]

Теорема Гаусса – Остроградского в интегральной форме для статичного распределения зарядов:

    \[\Psi_E=\oint_S{D_ndS=\sum_i{q_i(9),}}\]

где \Psi_E – поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность S;\ q_i – заряды, которые находятся внутри поверхности S.

Теорема Гаусса в интегральной форме:

    \[div\ \overline{D}=\rho \left(10\right)\]

где \rho – плотность распределения зарядов. Теорема Гаусса входит в систему уравнений Максвелла.

Формула работы, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по контуру L:

    \[A=\oint_L{\overline{E}\cdot d\overline{l}}\ \left(11\right)\]

где интеграл в формуле (11) называется циркуляцией вектора напряженности по контуру L;\ d\overline{l} – элементарное перемещение заряда по контуру L. Электростатическое поле носит потенциальный характер, поэтому работа сил поля по замкнутому контуру равна нулю.

Потенциалом в точке поля называют физическую величину (\varphi), которая равна:

    \[\varphi =\frac{A_{\infty }}{q}\left(12\right)\]

A_{\infty } — работа сил поля при перемещении заряда из данной точки поля в бесконечность. Работу сил поля в электростатике можно определить как:

    \[A=q\left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right)\left(13\right)\]

Потенциал поля точечного заряда, если мы считаем, что на бесконечности он равен нулю, можно определить как:

    \[\varphi =\frac{q}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0r}\left(14\right)\]

Потенциал поля диполя:

    \[\varphi =\frac{{\overline{p}}_e\overline{r}}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0r^3}\left(15\right)\]

где {\overline{p}}_e=q\overline{l} – электрический момент диполя (дипольный момент); \overline{r} – радиус-вектор, который проводят из центра диполя в рассматриваемую точку поля.

Связь между потенциалом поля в электростатике и напряженностью описывает выражение:

    \[\overline{E}=-grad\ \varphi \ \left(16\right)\]

Электрическую емкость уединенного проводника определяют как:

    \[C=\frac{q}{\varphi }\left(17\right)\]

Взаимная емкость двух проводников:

    \[C=\frac{q}{{\varphi }_1-{\varphi }_2}\left(18\right)\]

Энергия поля конденсатора (W) равна:

    \[W=\frac{q^2}{2C}\left(19\right)\]

Сила тока (I) через некоторую поверхность – скалярная величина, которая равна:

    \[I=\frac{dq}{dt}\left(20\right)\]

где t – время. Для постоянного тока выражение (20) преобразуется к виду:

    \[I=\frac{q}{t}\left(21\right)\]

Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называют физическую величину (\varepsilon), которая равна:

    \[\varepsilon=\frac{A_{st}}{q}\left(22\right)\]

где A_{st} – работа сторонних сил по перемещению заряда q (большего нуля) на заданном участке.

Напряжение (падение напряжения) (U):

    \[U=\frac{A}{q}\left(23\right)\]

где A – сумма работы сторонних сил и кулоновских при перемещении заряда q.

Сопротивление однородного проводника, который можно считать цилиндрическим:

    \[R=\rho \frac{l}{S}\left(24\right)\]

где \rho – удельное сопротивление проводник; S – площадь поперечного сечения; l – длина проводника.

Для произвольного участка цепи, который содержит источник постоянного тока, выполняется закон Ома:

    \[I=\frac{{\varphi }_1-{\varphi }_2+\varepsilon}{R'}\ \left(25\right)\]

где R' – полное сопротивление участка цепи.

Закон Ома для однородного участка (без источника тока):

    \[I=\frac{{\varphi }_1-{\varphi }_2}{R}=\frac{U}{R}\ \left(26\right)\]

Закон Ома для замкнутой цепи:

    \[I=\frac{\varepsilon}{R+r}\left(27\right)\]

где r – сопротивление источника тока.

При прохождении по участку цепи тока электрическое поле совершает работу:

    \[A=qU=IUt\ \left(28\right)\]

На проводник, который находится в магнитном поле действует сила Ампера ({\overline{F}}_A), равная:

    \[{d\overline{F}}_A=Id\overline{l}\times \overline{B}\left(29\right)\]

где {d\overline{F}}_A – элемент силы Ампера; d\overline{l} – элемент проводника с током; \overline{B} – вектор магнитной индукции магнитного поля. На прямой проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле действует сила Ампера, равная по величине:

    \[F_A=IB\sin\left(\ \widehat{\overline{B}\overline{l}}\right)\left(30\right)\]

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле действует сила Лоренца ({\overline{F}}_L), которую определяют как:

    \[{\overline{F}}_L=q\overline{v}\times \overline{B} \left(31\right)\]

где \overline{v} – скорость движения частицы.

Закон Био – Савара-Лапласа. Этот закон определяет вектор магнитной индукции (d\overline{B}) в точке магнитного поля в вакууме, которое создает проводник, длина которого равна dl, и по которому течет постоянный ток I:

    \[d\overline{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}d\overline{l}\times \overline{r}\left(32\right)\]

где d\overline{l} элементарный участок проводника, {\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7} \frac{Gn}{m} — магнитная постоянная.

Принцип суперпозиции для магнитных полей:

    \[\overline{B}=\sum^n_{i=1}{{\overline{B}}_i}\left(33\right)\]

Теорема о циркуляции (закон полного тока):

    \[\oint_L{\overline{B}\cdot d\overline{l}=}{\mu }_0\sum^n_{k=1}{I_k}\left(34\right)\]

где \oint_L{\overline{B}\cdot d\overline{l}} – циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру L;\ \sum^n_{k=1}{I_k} – алгебраическая сумма токов, которые охватываются контуром L.

Теорема Гаусса – Остроградского для потока магнитной индукции (\Psi_B) в интегральном виде:

    \[\Psi_B=\oint_S{B_ndS=0\ \left(35\right)}\]

Теорема Гаусса – Остроградского для магнитного поля в дифференциально виде:

    \[div\ \overline{B}=0\ \left(36\right)\]

Формула ЭДС индукции:

    \[\varepsilon_i=-\frac{d\Psi_B}{dt}\left(37\right)\]

Формула работы по перемещению контура, с текущим в нем током в магнитном поле:

    \[A=I\left(\Psi_{B2}-\Psi_{B1}\right)\left(38\right)\]

Система уравнений Максвелла в интегральном виде:

    \[\oint_L{\overline{E}\cdot d\overline{l}=-\frac{\partial \Psi_B}{\partial t}}\]

    \[\oint_L{\overline{H}\cdot d\overline{l}}=\sum^n_{k=1}{I_k+I_{sm}}\]

    \[\Psi_E=\oint_S{D_ndS}=Q\]

    \[\Psi_B=\oint_S{B_ndS}=0\]

{{I}}_{{sm}}— ток смещения; Q – суммарный заряд внутри поверхности, \overline{H} – вектор напряженности магнитного поля.

Система уравнений Максвелла в дифференциальном виде:

    \[rot\ \overline{E}=-\frac{\partial \overline{B}}{\partial t}\]

    \[rot\ \overline{H}=\overline{j}+\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}\]

    \[div\ \overline{D}=\rho \]

    \[div\ \overline{B}=0\]

\overline{j}— плотность тока проводимости.

Примеры решения задач по теме «Электродинамика»

ПРИМЕР 1
Задание В центре гипотетической сферы находится точечный заряд (q_1) (рис.1), как изменится поток вектора напряженности через поверхность сферы, если: 1) поместить еще один заряд в точку А? 2) Изменить радиус сферы с R_1 до R_2?
Решение Основой для решения задачи служит теорема Гаусса – Остроградского в виде:

    \[\Psi_E=\sum_i{q_i} \qquad (1.1)\]

где поток вектора напряжённости, через поверхность сферы (в первом случае радиуса R_1) создается одним зарядом, который по условию задачи расположен в центре сферы. То есть можно записать, что

    \[\Psi_E=q\]

Если еще один заряд поместят в точку А, поток не изменится, так как по теореме Гаусса, заряды находятся внутри выделенной поверхности. При изменении радиуса сферы до R_2 поток, также не изменится, так как величина заряда внутри новой сферы не увеличится.

Ответ В обоих случаях не изменится.
ПРИМЕР 2
Задание Какое уравнения электродинамики отражает тот факт, что свободных магнитных зарядов в природе не существует?
Решение Уравнение системы Максвелла в интегральной форме:

    \[\Psi_B=\oint_S{B_ndS}=0\]

или оно же в дифференциальном виде:

    \[div\ \overline{B}=0\]

отображает факт отсутствия свободных магнитных зарядов.