Формулы электродинамики

Определение и формулы электродинамики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Электродинамика – это раздел физики, который рассматривает электромагнитное поле как вид материи, взаимодействие данного поля с заряженными телам, различные виды электромагнитных явлений (излучения, ток).

Обычно, когда говорят об электродинамике, то имеют ввиду классическую электродинамику, которая использует в своем описании систему уравнений Максвелла. Квантовую электродинамику рассматривают особо.

Формулы классической электродинамики

К основным формулам классической электродинамики отнесем:

Закон Кулона, записанный для двух точечных заряженных тел:

$\overline{F}=\frac{q_1q_2\overline{r}}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0r^3}=k\frac{q_1q_2\overline{r}}{\varepsilon r^3} \qquad(1)$

где $\overline{\ F}$ – сила электростатического взаимодействия зарядов; $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды (среда – безграничный, однородный газообразный или жидкий диэлектрик), в которой находятся точеные заряженные тела; ${\varepsilon }_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{\Phi}{m}$ – электрическая постоянная; $\overline{r}$ –радиус-вектор, соединяющий точечные заряженные тела; $q_1{,q}_2$ – неподвижные точечные заряды; $k=9\cdot {10}^9\frac{m}{\Phi}$ .

Определение напряженности ( $\overline{E}$ ) электрического поля:

$\overline{E}=\frac{\overline{F}}{q} \qquad(2)$

где $\overline{F}$ – сила, с которой поле действует на статичный малый заряд q, который расположен в рассматриваемой точке поля.

Напряженность поля, которое создано точечным зарядом q, равна:

$\overline{E}=\frac{q\overline{r}}{4 \pi \varepsilon \varepsilon _0r^3} \qquad(3)$

Принцип суперпозиции электрических полей:

$\overline{E}=\sum^n_{i=1}{{\overline{E}}_i} \qquad(4)$

который обозначает, что напряжённость поля, созданная системой зарядов может быть найдена как геометрическая сумма отдельных напряженностей. Для непрерывного распределения зарядов, принцип суперпозиции записывают как:

$\overline{E}=\int{d\overline{E}} \qquad (5)$

Формула электрического смещения ( $\overline{D}$ ) для поля в вакууме:

$\overline{D}={\varepsilon }_0\overline{E} \qquad(6)$

Диэлектрическое смещение для поля в диэлектрике:

$\overline{D}=\varepsilon_0\overline{E}+\overline{P} \qquad(7)$

где $\overline{P}$ – вектор поляризации. В случае изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ :

$\overline{D}={\varepsilon }_0\varepsilon \overline{E} \qquad(8)$

Теорема Гаусса – Остроградского в интегральной форме для статичного распределения зарядов:

$\Psi_E=\oint_S{D_ndS=\sum_i{q_i(9),}}$

где $\Psi_E$ – поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность $S;\ q_i$ – заряды, которые находятся внутри поверхности S.

Теорема Гаусса в интегральной форме:

$div\ \overline{D}=\rho \left(10\right)$

где $\rho$ – плотность распределения зарядов. Теорема Гаусса входит в систему уравнений Максвелла.

Формула работы, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по контуру L:

$A=\oint_L{\overline{E}\cdot d\overline{l}}\ \left(11\right)$

где интеграл в формуле (11) называется циркуляцией вектора напряженности по контуру $L;\ d\overline{l}$ – элементарное перемещение заряда по контуру L. Электростатическое поле носит потенциальный характер, поэтому работа сил поля по замкнутому контуру равна нулю.

Потенциалом в точке поля называют физическую величину ( $\varphi$ ), которая равна:

$\varphi =\frac{A_{\infty }}{q}\left(12\right)$

$A_{\infty }$ — работа сил поля при перемещении заряда из данной точки поля в бесконечность. Работу сил поля в электростатике можно определить как:

$A=q\left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right)\left(13\right)$

Потенциал поля точечного заряда, если мы считаем, что на бесконечности он равен нулю, можно определить как:

$\varphi =\frac{q}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0r}\left(14\right)$

Потенциал поля диполя:

$\varphi =\frac{{\overline{p}}_e\overline{r}}{4\pi \varepsilon {\varepsilon }_0r^3}\left(15\right)$

где ${\overline{p}}_e=q\overline{l}$ – электрический момент диполя (дипольный момент); $\overline{r}$ – радиус-вектор, который проводят из центра диполя в рассматриваемую точку поля.

Связь между потенциалом поля в электростатике и напряженностью описывает выражение:

$\overline{E}=-grad\ \varphi \ \left(16\right)$

Электрическую емкость уединенного проводника определяют как:

$C=\frac{q}{\varphi }\left(17\right)$

Взаимная емкость двух проводников:

$C=\frac{q}{{\varphi }_1-{\varphi }_2}\left(18\right)$

Энергия поля конденсатора (W) равна:

$W=\frac{q^2}{2C}\left(19\right)$

Сила тока (I) через некоторую поверхность – скалярная величина, которая равна:

$I=\frac{dq}{dt}\left(20\right)$

где t – время. Для постоянного тока выражение (20) преобразуется к виду:

$I=\frac{q}{t}\left(21\right)$

Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называют физическую величину ( $\varepsilon$ ), которая равна:

$\varepsilon=\frac{A_{st}}{q}\left(22\right)$

где $A_{st}$ – работа сторонних сил по перемещению заряда q (большего нуля) на заданном участке.

Напряжение (падение напряжения) (U):

$U=\frac{A}{q}\left(23\right)$

где A – сумма работы сторонних сил и кулоновских при перемещении заряда q.

Сопротивление однородного проводника, который можно считать цилиндрическим:

$R=\rho \frac{l}{S}\left(24\right)$

где $\rho$ – удельное сопротивление проводник; S – площадь поперечного сечения; l – длина проводника.

Для произвольного участка цепи, который содержит источник постоянного тока, выполняется закон Ома:

$I=\frac{{\varphi }_1-{\varphi }_2+\varepsilon}{R'}\ \left(25\right)$

где $R'$ – полное сопротивление участка цепи.

Закон Ома для однородного участка (без источника тока):

$I=\frac{{\varphi }_1-{\varphi }_2}{R}=\frac{U}{R}\ \left(26\right)$

Закон Ома для замкнутой цепи:

$I=\frac{\varepsilon}{R+r}\left(27\right)$

где r – сопротивление источника тока.

При прохождении по участку цепи тока электрическое поле совершает работу:

$A=qU=IUt\ \left(28\right)$

На проводник, который находится в магнитном поле действует сила Ампера ( ${\overline{F}}_A$ ), равная:

${d\overline{F}}_A=Id\overline{l}\times \overline{B}\left(29\right)$

где ${d\overline{F}}_A$ – элемент силы Ампера; $d\overline{l}$ – элемент проводника с током; $\overline{B}$ – вектор магнитной индукции магнитного поля. На прямой проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле действует сила Ампера, равная по величине:

$F_A=IB\sin\left(\ \widehat{\overline{B}\overline{l}}\right)\left(30\right)$

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле действует сила Лоренца ( ${\overline{F}}_L$ ), которую определяют как:

${\overline{F}}_L=q\overline{v}\times \overline{B} \left(31\right)$

где $\overline{v}$ – скорость движения частицы.

Закон Био – Савара-Лапласа. Этот закон определяет вектор магнитной индукции ( $d\overline{B}$ ) в точке магнитного поля в вакууме, которое создает проводник, длина которого равна $dl$ , и по которому течет постоянный ток I:

$d\overline{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}d\overline{l}\times \overline{r}\left(32\right)$

где $d\overline{l}$ элементарный участок проводника, ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7} \frac{Gn}{m}$ — магнитная постоянная.

Принцип суперпозиции для магнитных полей:

$\overline{B}=\sum^n_{i=1}{{\overline{B}}_i}\left(33\right)$

Теорема о циркуляции (закон полного тока):

$\oint_L{\overline{B}\cdot d\overline{l}=}{\mu }_0\sum^n_{k=1}{I_k}\left(34\right)$

где $\oint_L{\overline{B}\cdot d\overline{l}}$ – циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру $L;\ \sum^n_{k=1}{I_k}$ – алгебраическая сумма токов, которые охватываются контуром L.

Теорема Гаусса – Остроградского для потока магнитной индукции ( $\Psi_B$ ) в интегральном виде:

$\Psi_B=\oint_S{B_ndS=0\ \left(35\right)}$

Теорема Гаусса – Остроградского для магнитного поля в дифференциально виде:

$div\ \overline{B}=0\ \left(36\right)$

Формула ЭДС индукции:

$\varepsilon_i=-\frac{d\Psi_B}{dt}\left(37\right)$

Формула работы по перемещению контура, с текущим в нем током в магнитном поле:

$A=I\left(\Psi_{B2}-\Psi_{B1}\right)\left(38\right)$

Система уравнений Максвелла в интегральном виде:

$\oint_L{\overline{E}\cdot d\overline{l}=-\frac{\partial \Psi_B}{\partial t}}$

$\oint_L{\overline{H}\cdot d\overline{l}}=\sum^n_{k=1}{I_k+I_{sm}}$

$\Psi_E=\oint_S{D_ndS}=Q$

$\Psi_B=\oint_S{B_ndS}=0$

${{I}}_{{sm}}$ — ток смещения; Q – суммарный заряд внутри поверхности, $\overline{H}$ – вектор напряженности магнитного поля.

Система уравнений Максвелла в дифференциальном виде:

$rot\ \overline{E}=-\frac{\partial \overline{B}}{\partial t}$

$rot\ \overline{H}=\overline{j}+\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}$

$div\ \overline{D}=\rho$

$div\ \overline{B}=0$

$\overline{j}$ — плотность тока проводимости.

Примеры решения задач по теме «Электродинамика»

ПРИМЕР 1

Задание

В центре гипотетической сферы находится точечный заряд ( $q_1$ ) (рис.1), как изменится поток вектора напряженности через поверхность сферы, если: 1) поместить еще один заряд в точку А? 2) Изменить радиус сферы с $R_1$ до $R_2$ ?

Решение

Основой для решения задачи служит теорема Гаусса – Остроградского в виде:

$\Psi_E=\sum_i{q_i} \qquad (1.1)$

где поток вектора напряжённости, через поверхность сферы (в первом случае радиуса $R_1$ ) создается одним зарядом, который по условию задачи расположен в центре сферы. То есть можно записать, что

$\Psi_E=q$

Если еще один заряд поместят в точку А, поток не изменится, так как по теореме Гаусса, заряды находятся внутри выделенной поверхности. При изменении радиуса сферы до $R_2$ поток, также не изменится, так как величина заряда внутри новой сферы не увеличится.

Ответ

В обоих случаях не изменится.

ПРИМЕР 2

Задание

Какое уравнения электродинамики отражает тот факт, что свободных магнитных зарядов в природе не существует?

Решение

Уравнение системы Максвелла в интегральной форме:

$\Psi_B=\oint_S{B_ndS}=0$

или оно же в дифференциальном виде:

$div\ \overline{B}=0$

отображает факт отсутствия свободных магнитных зарядов.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!