Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула закона электромагнитной индукции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Закон электромагнитной индукции получен М. Фарадеем, современную формулировку данного закона мы знаем в интерпретации Максвелла.

Это основной закон, который используют при вычислениях, которые связаны с электромагнитной индукцией.

Формула данного закона выглядит следующим образом:

    \[\varepsilon_i=-\frac{d\Psi_m}{dt} \qquad(1)\]

где \varepsilon_i – электродвижущая сила (ЭДС) индукции, которая возникает в проводнике, если он находится в переменном магнитном поле. Если проводящим телом является, например, замкнутый контур, то в нем течет электрический ток, который называют током индукции. \Psi_m – магнитный поток, через поверхность, ограниченную этим контуром. Формула (1) означает то, что ЭДС индукции равна по модулю и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через некоторую поверхность.

Магнитный поток, который пронизывает контур, может изменяться из-за разных причин, например, перемещения контура, его деформации, изменения самого магнитного поля. Полная производная в формуле закона электромагнитной индукции охватывает весь спектр действия этих причин.

Следует учесть, что из конца вектора нормали к контуру обход контура должен проходить против часовой стрелки.

Знак минус в законе индукции отражает правило Ленца.

В виде (1), закон электромагнитной индукции записывается в международной системе единиц (СИ).

Если изменение магнитного потока происходит равномерно, то формулу закона электромагнитной индукции можно записать как:

    \[\varepsilon_i=-\frac{\Delta \Psi_m}{\Delta t} \qquad(2)\]

Формулу закона для электромагнитной индукции, если контур состоит из N витков, соединенных последовательно, записывают в виде:

    \[\varepsilon_i=-\frac{d\sum^N_{i=1}{\Psi_{mi}}}{dt}=-\frac{d\Psi}{dt} \qquad(3)\]

где \Psi=N\Psi_m – потокосцепление.

Результаты применения основного закона электромагнитной индукции

Формулы ЭДС индукции для частных случаев

ЭДС индукции в прямом проводнике, имеющем длину l, движущемся в магнитном поле и пересекающем линии магнитной индукции, если скорость его движения (\overline{v}) перпендикулярна вектору магнитной индукции (\overline{B}), равна:

    \[\varepsilon_i=-vBl\ \qquad(4)\]

Разность потенциалов (U), возникающая на концах проводника длиной l, движущегося в однородном магнитном поле со скоростью v равна:

    \[U=Blv{\sin \alpha }  \qquad (5)\]

где \alpha – угол между направлением вектора скорости и направлением вектора магнитной индукции.

Если в однородном магнитном поле вращается плоский контур со скоростью \omega, при этом ось вращения находится в плоскости витка и составляет угол в 900 с направлением вектора {\overline{B}}_0 внешнего магнитного поля, то в контуре появляется ЭДС индукции равная:

    \[\varepsilon_i=B_0S\omega {\sin \left(\omega t\right)-\frac{d\Psi_{m0}}{dt}} \ \qquad(6)\]

где S – площадь, которую ограничивает виток; \omega t – мгновенное значение угла между \overline{B} и вектором нормали к плоскости рамки; \Psi_{m0} – поток самоиндукции витка.

Если в рамке, вращающейся со скоростью \omega в однородном магнитном поле, имеется N витков, то

    \[\varepsilon_i=B_0S\omega {\sin \left(\omega t\right)} \ \qquad(6)\]

в формуле (6) самоиндукцией витков пренебрегли.

Пусть проводник находится в покое, при этом изменяется во времени само магнитное поле, тогда ЭДС индукции можно найти как:

    \[\varepsilon_i=-\frac{\partial \Psi_m}{\partial t} \qquad(7)\]

Примеры решения задач по теме «Закон электромагнитной индукции»

ПРИМЕР 1
Задание Каково мгновенное значение ЭДС индукции (\varepsilon_i) в рамке, которая содержит N=100 витков? Эта рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией B=0,2 Тл. Частота вращения рамки составляет \nu =10 c-1. Площадь рамки равна S=0,015 м2. Угол поворота рамки в рассматриваемый момент составляет \alpha =\left(\omega t\right)=30^\circ.
Решение Мгновенное значение ЭДС индукции следует находить, используя основной закон электромагнитной индукции в виде:

    \[\varepsilon_i=-\frac{d\Psi}{dt} \qquad(1.1)\]

где \Psi=N\Psi_m. При вращении рамки магнитный поток, который ее пронизывает изменяется как:

    \[\Psi_m=B\cos \left(\omega t\right) \qquad(1.2)\]

где \omega =2\pi \nu – угловая частота вращения рамки. Подставим формулу (1.2) в выражение для закона Фарадея – Максвелла (1.1), получим:

    \[\varepsilon_i=NBS\omega {\sin \left(\omega t\right)=NBS2\pi \nu {\sin \left(\omega t\right)} } \qquad (1.3)\]

где по условию \omega t=\alpha .

Проведем вычисления:

    \[\varepsilon_i=100\cdot 0,2\cdot 0,015\cdot 2\pi \cdot 10\sin (30^\circ)}=9,42\ (B)\]

Ответ \varepsilon_i=9,42 B
ПРИМЕР 2
Задание Какая разность потенциалов возникает на концах проводящего стержня, если он вращается в однородном магнитном поле, индукция которого равна B? Частота вращения стержня \nu. Длина стержня l_0. Плоскость, в которой происходит вращение, перпендикулярна линиям поля, ось вращения проходит через один из концов стержня (рис.1).
Решение Разность потенциалов на концах проводника возникает за счет действия на электроны со стороны силы Лоренца. В качестве основы для решения задачи используем следствие из закона Фарадея – Максвелла для движущегося проводника в магнитном поле:

    \[U=Blv{\sin \alpha =Blv}  \qquad (2.1)\]

где \alpha =90^\circ – угол между направлением вектора скорости, который лежит в плоскости движения стержня и направлен по касательной к траектории движения точек проводника и направлением вектора магнитной индукции.

Рассмотрим элементы стержня величины dl, которые вращаются в магнитном поле со скоростью:

    \[dv=\omega dl=2\pi \nu dl\  \qquad(2.2)\]

Тогда разность потенциалов на концах элементарного отрезка проводника равна:

    \[dU=Bldv=2\pi B\nu ldl \qquad(2.3)\]

Возьмем интеграл от выражения (2.3), по всей длине стержня:

    \[U=2\pi B\nu \int^{l_0}_0{ldl}=2\pi B\nu \frac{l^2_0}{2}=\pi B\nu l^2_0\]

Ответ U=\pi B\nu l^2_0