Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула силы инерции

Для того чтобы второй закон Ньютона выполнялся в неинерциальных системах отсчета в дополнение к силам, которые действуют на тела вводят силы инерции.

Определение и формула силы инерции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Силой инерции называют силу, которая вводится только потому, что система координат, в которой происходит рассмотрение движения тел, является неинерциальной.

Возникновение сил инерции не связано с действием каких-либо тел. Напомним, что неинерциальными системами отсчета являются любые системы, движущейся с ускорением относительно инерциальных систем.

Третий закон Ньютона для сил инерции не выполняется.

Пусть ускорение тела относительно инерциальной системы отсчета равно {\overline{a}}_a. Обычно такое ускорение называют абсолютным, при этом ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета носит название относительного ({\overline{a}}_o). Второй закон Ньютона для инерциальной системы отсчета запишем как:

    \[m{\overline{a}}_a=\overline{F} \qquad(1)\]

где \overline{F} – равнодействующая сила, приложенная к телу массы m. В неинерциальной системе отсчета:

    \[m{\overline{a}}_o\ne \overline{F} \qquad(2)\]

поскольку:

    \[{\overline{a}}_o\ne {\overline{a}}_a \qquad(3)\]

Добавим к правой части выражения (2) силы инерции, так чтобы выполнялся второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета:

    \[m{\overline{a}}_o=\overline{F}+{\overline{F}}_i \qquad(4)\]

В таком случае получим, что сила инерции равна:

    \[{\overline{F}}_i=m\left({\overline{a}}_o-{\overline{a}}_a\right) \qquad(5)\]

Формула (5) для силы инерции дает верное описание движения в неинерциальной системе отсчета. При этом нахождение разности относительного и абсолютного ускорений является кинематической задачей. Ее можно решить, если известен характер движения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.

Системы отсчета, движущиеся прямолинейно с постоянным ускорением

Система отсчета, которая перемещается прямолинейно с постоянным ускорением – это простейший случай неинерциальной системы. Рассмотрим неинерциальную систему отсчета, которая движется прямолинейно с постоянным ускорением {\overline{a}}_p (переносное ускорение) относительно инерциальной системы отсчета. Тогда:

    \[{\overline{a}}_a={\overline{a}}_o+{\overline{a}}_p\ \qquad(6)\]

Согласно формуле (5) сила инерции равна:

    \[{\overline{F}}_i=-m{\overline{a}}_p \qquad(7)\]

Вращающаяся система отсчета

Рассмотрим систему отсчета, вращающуюся относительно неподвижной оси с постоянной скоростью \omega. Для тела находящегося в состоянии покоя в такой системе отсчета формулу для силы инерции можно записать как:

    \[{\overline{F}}_i=m{\omega }^2\overline{r} \qquad(8)\]

где \overline{r} – радиус-вектор, по величине равный расстоянию от оси вращения до рассматриваемого тела, направленный от центра к телу. Сила инерции (8) называется центробежной силой инерции.

Все тела на поверхности Земли испытывают действие центробежной силы инерции.

Отметим, что всякую задачу можно решить в инерциальной системе отсчета. Применение неинерциальных систем продиктовано соображениями удобства применения неинерциальных систем.

Примеры решения задач по теме «Сила инерции»

ПРИМЕР 1
Задание Какова сила нормального давления тела (вес) на поверхность Земли, если тело неподвижно, имеет массу m. Находится на широте \varphi. Радиус Земли считать равным R.
Решение Сделаем рисунок.

Свяжем систему отсчета с Землей. На груз в этой системе отсчета действуют силы: сила тяжести (m\overline{g}); сила реакции опоры (\overline{N}); сила трения покоя ({\overline{F}}_{tr}). Кроме этих сил, так как систему отсчета связанную с Землей в нашем случае инерциальной считать не будем, действует центробежная сила инерции ({\overline{F}}_i). Формулу для расчета силы инерции возьмем:

    \[{\overline{F}}_i=m{\omega }^2\overline{r} \qquad(1.1)\]

где r=R{\cos \varphi } - радиус траектории (окружности) по которой движется груз.

Систему координат выберем так, что ее начало совпадет с центром тела, ось Y будет перпендикулярна поверхности Земли, ось X – касательная к поверхности Земли (см. рис.1). Так как тело не движется относительно Земли, то второй закон Ньютона запишем как:

    \[m\overline{g}+\overline{N}+{\overline{F}}_{tr}+{\overline{F}}_i=0\  \qquad(1.2)\]

В проекциях на оси X и Y выражения (1.2), учитывая (1.1) имеем:

    \[\left\{ \begin{array}{c} X:\ -mg+N+m{\omega }^2R\cos \varphi } =0, \\  Y:\ -F_{tr}+m{\omega }^2R{\sin \varphi } \cos \varphi =0}  \end{array} \right.\  \qquad(1.3)\]

Так как вес тела (P) по величине равен (N), выразим его из первого уравнения системы (1.3), получим:

    \[N=mg-m{\omega }^2R\cos \varphi }  \qquad (1.4)\]

Ответ P=mg-m{\omega }^2R\cos \varphi \ }
ПРИМЕР 2
Задание Рассмотрите результаты решения задачи в первом примере и ответе на вопросы:
  1. В каком месте Земли сила трения покоя равна нулю?
  2. В каких местах Земли сила трения максимальна?
  3. Где вес тела равен силе тяжести?
Решение Для ответа на первый и второй вопросы следует получить формулу для вычисления силы трения. Для этого используем вторую формулу из системы (1.3) и получим:

    \[F_{tr}=m{\omega }^2R{\sin \varphi } \cos \varphi =\frac{1}{2}m{\omega }^2R{\sin (2\varphi )} }  \qquad (2.1)\]

Из формулы (2.1) следует, что сила трения равна нулю на полюсах и экваторе. Максимальную величину сила трения имеет при \varphi =\pm \frac{\pi }{4}, то есть {\sin (2\varphi )} =1.

Рассмотрим выражение, полученное для вычисления веса тела:

    \[P=mg-m{\omega }^2R\cos \varphi }  \qquad (2.2)\]

Из него следует, что P=mg при \varphi =\frac{\pi }{2}, то есть на полюсах.