Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула работы идеального газа

Работа в термодинамике

Работа в термодинамике вычисляется как:

    \[A=\int^{V_2}_{V_1}{pdV} \qquad (1)\]

где V_1 – начальный объем системы; V_2 – конечный объем. Работа считается большей нуля, если работу выполняет система (газ) над внешними силами.

Работу можно вычислить исходя из первого начала термодинамики:

    \[A=\Delta Q-\Delta U\ \qquad(2)\]

где \Delta Q – количество теплоты, которое система получает; \Delta U – изменение внутренней энергии системы. Если в качестве термодинамической системы выступает идеальный газ, то выражение (2) можно записать как:

    \[A=\Delta Q-\frac{i}{2}\nu R\Delta T\  \qquad(3)\]

где i – число степеней свободы молекулы идеального газа; \nu =\frac{m}{\mu } – количество вещества; m – масса газа; \mu – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная; \Delta T – изменение температуры газа в рассматриваемом процессе. Выражения (1),(2) и (3) записаны в интегральном виде.

Элементарная работа идеального газа (\delta A) равна:

    \[\delta A=pdV\ \qquad(4)\]

Или из первого начала термодинамики в дифференциальном виде следует, что:

    \[\delta A=\delta Q-\frac{i}{2}\nu RdT\ \qquad(5)\]

Работа идеального газа в частных случаях

При изохорном процессе (V=const) работа газа равна нулю.

В изобарном процессе (p=const) работу вычисляют как:

    \[A=p\left(V_2-V_1\right) \qquad(6)\]

где V_2,V_1 – конечный и начальный объемы газа; p – давление газа.

При изотермическом процессе (T=const) работу газа можно найти как:

    \[A={\mathbf \nu }RTln\ \left(\frac{V_2}{V_1}\right)={\mathbf \nu }RTln\ \left(\frac{p_1}{p_2}\right) \qquad(7)\]

При адиабатном процессе работу газ совершает за счет уменьшения своей внутренней энергии, и она равна:

    \[A=\frac{i}{2}\nu R\ \left(T_1-T_2\right)\]

или

    \[A=\frac{\nu RT_1}{\gamma -1}\ \left(1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right) \qquad(8)\]

где \gamma =\frac{i+2}{i} – показатель адиабаты.

Примеры решения задач по теме «Работа идеального газа»

ПРИМЕР 1
Задание Идеальный газ занимал объем равный V_1=12\cdot {10}^{-3}m^3 и находился под давлением p_1={10}^5 Па. Его изобарно нагрели от температуры T_1=300K до температуры T_2=400 K. Какую работу (A) совершил газ?
Решение В качестве основы для решения задачи используем формулу для вычисления работы в этом процессе p=const:

    \[A=p\left(V_2-V_1\right) \qquad(1.1)\]

где p=p_1. Начальный объем газа нам известен из условий задачи, следует найти конечный объем газа. Для этого воспользуемся уравнением Гей-Люссака для изобарного процесса, запишем его в следующем виде:

    \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2} \qquad(1.2)\]

Из (1.2) выразим конечный объем газа(V_2), имеем:

    \[V_2=\frac{V_1T_2}{T_1} \qquad(1.3)\]

Подставим полученное выражение для объема (1.3) в выражение для работы (1.1):

    \[A=p_1V_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\]

Проведем вычисления работы газа:

    \[A={10}^5\cdot 12\cdot {10}^{-3}\left(\frac{400}{300}-1\right)=400\ (J)\]

Ответ A=400 Дж
ПРИМЕР 2
Задание На рис. 1 изображен круговой процесс, проводимый в идеальном газе. Фигура, изображенная на рисунке, является эллипсом. Какую работу совершает газ за один цикл? Используйте данные приведенные на рисунке.
Решение Для обратимого процесса, который в идеальном газе возможен, элементарное изменение энтропии dS равно:

    \[dS=\frac{\delta Q}{T} \qquad(2.1)\]

Следовательно, количество теплоты, получаемое идеальным газом можно найти как:

    \[\Delta Q=\int{TdS}  \qquad(2.2)\]

Исходя из геометрического смысла интеграла, количество теплоты, полученное системой в одном цикле (\Delta Q) равно площади фигуры, которая изображена на диаграмме S(T). То есть в нашем случае площади эллипса. Площадь эллипса равна:

    \[S=\pi \ \cdot a\cdot b \qquad(2.3)\]

где a\ ,b – главные полуоси эллипса. В нашем случае из рис.1 следует, что a=\frac{400-100}{2}=150\ (K);\ b=\frac{900-300}{2}=300\ \left(\frac{J}{K}\right).

Из первого начала термодинамики, теплота, подводимая к газу, расходуется на совершение им работы и изменение внутренней энергии:

    \[\Delta Q=A+\Delta U\  \qquad(2.4)\]

Однако, из рисунка 1 видно, что цикл замкнутый, а внутренняя энергия является функцией состояния, следовательно, за полный цикл ее изменение равно нулю (\Delta U=0). Получаем, что в нашем процессе:

    \[\Delta Q=A \qquad(2.5)\]

Значит, работа газа за один цикл равна:

    \[A=S=\pi \ \cdot a\cdot b\]

Проведем вычисления:

    \[A=\pi \cdot 150\cdot 300=1,413\cdot {10}^5(J)\]

Ответ A=1,413\cdot {10}^5 Дж