Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула индукции

В этом разделе мы рассмотрим только три вида индукции: электромагнитную индукцию, индукцию магнитного поля и электрическую индукцию и основные формулы, при помощи которых данные виды индукции вычисляют.

Формула индукции электрического поля

Электрическая индукция (или вектор электрического смещения (\overline{D})) – это одна из основных векторных характеристик электрического поля. Формулой определяющей вектор электрической индукции является выражение:

    \[\overline{D}={\varepsilon }_0\overline{E}+\overline{P} \qquad(1)\]

где \overline{E} – вектор напряженности электрического поля; \overline{P} – вектор поляризации; {\varepsilon }_0 – электрическая постоянная.

Для изотропного вещества индукция электрического поля связана с напряженность это поля как:

    \[\overline{D}={\varepsilon }_0\varepsilon \overline{E} \qquad(2)\]

где \varepsilon – диэлектрическая проницаемость вещества.

Самой распространённой формулой, при помощи которой находят величину вектора индукции электростатического поля, является теорема Остроградского – Гаусса:

    \[\Psi_D=\oint_S{\overline{D}d\overline{S}=\oint_S{D_ndS}=Q}  \qquad (3)\]

Поток (\Psi_D) вектора электростатической индукции (\overline{D}) в диэлектрике через произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, которые находятся внутри рассматриваемой поверхности. В данной форме теорема Гаусса выполняется и для однородной и изотропной среды, так и для неоднородной анизотропной.

Формула вектора индукции магнитного поля

Модуль вектора \overline{B} равен частному от деления максимальной силы Ампера (F_{max}), с которой магнитное поле оказывает воздействие на отрезок проводника с током (I) к произведению силы тока на длину проводника (\Delta l):

    \[B=\frac{F_{max}}{I\Delta l} \qquad(4)\]

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. По величине ее воздействия на заряд также можно установить модуль вектора \overline{B}:

    \[B=\frac{F_L}{qv\sin \alpha \ } } \qquad(5)\]

где F_L – модуль силы Лоренца; q – заряд частицы, движущейся со скоростью v в магнитном поле; \alpha – это угол между векторами \overline{v} и \overline{B}. Направления {\overline{F}}_L, векторов \overline{v} и \overline{B} связаны между собой правилом левой руки.

Формулой, которая определяет величину вектора магнитной индукции в конкретной точке магнитного поля можно считать следующее выражение:

    \[B=\frac{M_{max}}{p_m} \qquad(6)\]

где M_{max} – максимальный вращающий момент, действующий на рамку, которая обладает магнитным моментом p_m, равным единице, если нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Основными законами, которыми пользуются чаще всего для расчета магнитных полей, являются: закон Био-Савара-Лапласа и теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Формула электромагнитной индукции

Если проводник помещен в переменное магнитное поле, то в нем возникает электродвижущая сила – это сущность явления электромагнитной индукции.

Основной закон электромагнитной индукции состоит в следующем: ЭДС электромагнитной индукции (\varepsilon_i) в контуре, помещенном в переменное магнитное поле, равна по величине скорости изменения магнитного потока (\Psi_m), который проходит через поверхность, которую ограничивает рассматриваемый контур. При этом знаки ЭДС и скорости изменения магнитного потока противоположны.

В системе международных единиц (СИ) закон электромагнитной индукции записывают так:

    \[\varepsilon_i=-\frac{d\Psi_m}{dt} \qquad(7)\]

где \frac{d\Psi_m}{dt} – скорость изменения магнитного потока сквозь площадь, которую ограничивает контур. (Часто индекс у магнитного потока опускают и обозначают его Ф). Когда вычисляют ЭДС индукции и магнитный поток, учитывают то, что направление нормали к плоскости контура (\overline{n}) и направление его обода связаны. Вектор \overline{n} должен быть направлен так, чтобы из его конца обход контура проходил против часовой стрелки.

Примеры решения задач по теме «Индукция»

ПРИМЕР 1
Задание Однородное электрическое поле имеет напряжённость E_0. В него помещают бесконечную плоскопараллельную пластину из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью \varepsilon. Платину размещают перпендикулярно линиям поля (рис.1). Какова напряженность (E) и индукция поля (D) внутри диэлектрика?
Решение Напряженность электростатического поля внутри пластины будет равно:

    \[\overline{E}=\frac{{\overline{E}}_0}{\varepsilon }\  \qquad(1.1)\]

В изотропном веществе индукция электрического поля связана с напряженность это поля как:

    \[\overline{D}={\varepsilon }_0\varepsilon \overline{E} \qquad(1.2)\]

используя выражение (1.1), получим:

    \[\overline{D}={\varepsilon }_0\varepsilon \frac{{\overline{E}}_0}{\varepsilon }={\varepsilon }_0{\overline{E}}_0\]

Ответ \overline{E}=\frac{{\overline{E}}_0}{\varepsilon };\overline{D}={\varepsilon }_0{\overline{E}}_0
ПРИМЕР 2
Задание Прямолинейный металлический стержень движется с постоянной скоростью v в однородном магнитном поле B. Чему будет равна разность потенциалов на концах проводника (U)? Угол между векторами \overline{B} и \overline{v} равен \alpha.
Решение На концах стержня при его движении появляются индуцированные заряды. Разделение зарядов в таком проводнике идет за счет магнитных сил, оказывающих воздействие на электроны. Полное разделение зарядов идет до момента пока возникшее электрическое поле не уравновешивает в любой точке стержня действие магнитного поля на заряды. Магнитные силы можно считать сторонними. Используем закон Фарадея:

    \[\left|\varepsilon_i\right|=\frac{d\Psi_m}{dt} \qquad(2.1)\]

при этом: U=\varepsilon_i.

Площадь (dS), которую ометает проводник за промежуток времени dt равна:

    \[dS=ldx\  \qquad(2.2)\]

Тогда изменение магнитного потока равно:

    \[d\Psi=Bldx{\sin \alpha }  \qquad (2.3)\]

Подставим выражение для d\Psi (2.3) в формулу (2.1), имеем:

    \[U=Bl\frac{dx}{dt}\sin \alpha =Blv\sin \alpha \ (2.4).\ \]

Ответ U=Blv\sin \alpha