Законы идеальных газов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Идеальным газом называют гипотетическую модель вещества, частицы которой представляют собой материальные точки, с массой отличной от нуля, но нулевым объемом.

Эти материальные точки взаимодействуют между собой и со стенками сосуда, в котором находятся, только при столкновениях, по законам абсолютно упругого соударения шаров. Данная модель является полезной для приближенного описания систем, состоящих из большого количества частиц. Большинство законов молекулярно-кинетической теории газов были созданы при ее использовании.

Уравнение связи давления газа и средней кинетической энергии поступательного движения молекул

Давление (p) идеального газа равно:

$p=\frac{2}{3}n\left\langle E\right\rangle \qquad (1)$

где $\left\langle E\right\rangle$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа; $n=\frac{N}{V}$ — концентрация молекул газа (N – число молекул газа в сосуде; V – объем сосуда). Уравнение (1) показывает, что газ совершает давление на стенки сосуда так, как его молекулы перемещаясь, ударяют о стенки сосуда и взаимодействуют со стенками, как упругие тела по законам классической механики.

Уравнение состояния идеального газа

Уравнением состояния идеального газа (или уравнением Клапейрона — Менделеева) называют выражение, которое связывает три основных параметра ( $p,V,T$ ), при помощи которых, описывают состояние массы определенного газа, как термодинамической системы:

$pV=\frac{m}{\mu}RT \qquad (2)$

где $\mu$ — молярная масса газа; $R=8,31\ \frac{J}{K\cdot mol}$ – универсальная газовая постоянная; m – масса газа; V – объем газа; $T=t+273$ – температура по абсолютной шкале температур.

Процессы в идеальном газе

Изо процессами называют процессы, которые происходят в постоянной массе идеального газа при одном фиксированном термодинамическом параметре T,V или p.

Закон Бойля – Мариотта. Для постоянной массы (m) идеального газа при постоянной температуре (T) произведение давления (p) газа на его объем (V) является постоянной величиной для любых состояний рассматриваемого вещества:

$\left\{ \begin{array}{c} m=const;\ T=const \\ pV=const. \end{array} \right$

Такой процесс называют изотермическим. Изо процессы, протекающие в газе, часто изображают графически. Так для изотермического процесса, мы имеем графики, которые изображены на рис.1.

Линии на графиках, изображающие изотермический процесс, называют изотермами.

Закон Гей-Люссака. Для постоянной массы газа при неизменном давлении выполняется соотношение:

$\left\{ \begin{array}{c} m=const;\ T=const \\ \frac{V}{T}=const. \end{array} \right$

Процесс в постоянной массе газа, проводимый при неизменном давлении называют изобарическим. На рис. 2 изображены изобары.

Закон Шарля. Для постоянной массы газа, при постоянном объеме, отношение давления газа к температуре, не изменяется:

$\left\{ \begin{array}{c} m=const;\ V=const;\ \\ \frac{p}{T}=const. \end{array} \right$

Данный процесс называют изохорическим (изохорным). Линии на графиках – изохоры.

Адиабатный процесс

Адиабатным процессом называется процесс, проводимый в газе без теплообмена с окружающей средой ( $\Delta Q=0$ ). Равенство, которое связывает параметры системы в этом процессе, носит название уравнения Пуассона:

$pV^{\gamma}=const$

где $\gamma =\frac{i+2}{i}$ – показатель адиабаты; i – число степеней свободы молекулы идеального газа.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найдите отношение плотности метана к плотности кислорода, если газы находятся при одинаковых условиях. Газы можно считать идеальными.

Решение

Вспомним химические формулы газов в нашей задаче. Метан — $CH_4$ ; кислород — $O_2$ . Если газы можно считать идеальными, то будем использовать уравнение состояния идеального газа для решения задачи:

$pV=\frac{m}{\mu}RT \qquad (1.1)$

Если правую и левую части уравнения (1.1) разделить на объем (V), то получим:

$p=\frac{\rho}{\mu}RT \qquad (1.2)$

Из формулы (1.2) выразим плотность газа:

$\rho =\frac{p\mu}{RT} \qquad (1.3)$

По условию задачи параметры $p$ и $T$ для разных газов одинаковы, следовательно:

$\frac{{\rho}_{CH_4}}{{\rho}_{O_2}}=\frac{{\mu}_{CH_{4}}}{{\mu}_{O_2}}$

Для нахождения молярных масс газов воспользуемся таблицей Менделеева. Получим ${\mu}_{CH_{4}}=16\cdot {10}^{-3}\frac{kg}{mol};\ {\mu}_{O_2}=32•{10}^{-3}\frac{kg}{mol}.$ Вычислим искомое отношение:

$\frac{{\rho}_{CH_4}}{{\rho}_{O_2}}=\frac{16\cdot {10}^{-3}}{32\cdot {10}^{-3}}=0,5$

Ответ

$\frac{{\rho}_{CH_4}}{{\rho}_{O_2}}=0,5$

ПРИМЕР 2

Задание

На рисунке 5 представлен процесс в идеальном газе, который проводят при переменной массе, но постоянном давлении. Как изменяется масса газа в этом процессе?

Решение

Для решения задачи будем использовать уравнение Менделеева-Клапейрона:

$pV=\frac{m}{\mu}RT \qquad (2.1)$

Выразим из него массу газа, получим:

$m=\frac{pV\mu}{RT}=\frac{\mu}{R}\frac{pV}{T} \qquad (2.2)$

По условию задачи давление в процессе остается постоянным. Следовательно, за поведение массы будет отвечать отношение $\frac{V}{T}$ . Из графика процесса мы видим, что объем газа уменьшается ( $V\downarrow$ ), а температура при этом растет ( $T\uparrow$ ), получаем: $\frac{V\downarrow}{T\uparrow}$ , это означает, что отношение уменьшается. Вывод: масса в заданном процессе уменьшается.