Законы гидродинамики
Определение и законы гидродинамики
Жидкость, в которой при любом ее движении не возникают силы внутреннего трения, называют идеальной. Иначе говоря, в идеальной жидкости существуют только силы нормального давления, которые однозначно определяются степенью сжатия и температурой жидкости. Модель идеальной жидкости используют тогда, когда скорости изменения деформаций в жидкости малы.
Одним из параметров, характеризующих состояние жидкости (газа) является давление (), которое определяют как:
Давление при равновесии жидкости подчиняется закону Паскаля:
Давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково во всех направлениях. Давление одинаково передается во всем объеме, которое жидкость занимает.
Сила давления на нижние слои жидкости больше, чем на верхние слои. Из-за этого на тело, погруженное в жидкость (газ) действует выталкивающая сила, называемая силой Архимеда () (закон Архимеда):
где – плотность жидкости; – объем тела, погруженного в жидкость.
В состоянии равновесия жидкости (газа) давление () меняется в зависимости от плотности ( и температуры () и однозначно определено ими. Соотношение:
в состоянии равновесия называют уравнением состояния.
Основным уравнением гидростатики является выражение:
где – объемную плотность массовых сил. При равновесии жидкости плотность силы, действующая на единицу объема жидкости ( есть градиент скалярной функции. Это необходимое и достаточное условие консервативности плотности силы . Получается, что для равновесия жидкости надо, чтобы поле сил, в котором находится жидкость, было консервативным. В неконсервативных силовых полях равновесие не возможно.
Основным уравнением гидродинамики идеальной жидкости является уравнение Эйлера:
где ускорение жидкости в рассматриваемой точке.
Закон охранения энергии для установившегося течения идеальной жидкости в гидродинамике представлен уравнением Д. Бернулли:
где – статическое давление – давление жидкости на поверхности тела, которое она обтекает; — динамическое давление; — гидростатическое давление; — высота столба жидкости.
Графически движение жидкости изображают при помощи линий тока. Их проводят так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости в соответствующих точках пространства. Жидкость, ограниченную линиями тока называют трубкой тока. При стационарном течении жидкости форма и расположение линий тока не изменяется.
Движение несжимаемой жидкости подчиняется уравнению неразрывности, которое записывают как:
и – сечения трубки тока.
Примеры решения задач
Задание | Маленький шарик поднимается вверх с постоянной скоростью в жидкости, чья плотность в раз больше, чем плотность материала шарика (). Каково отношение силы трения, которая действует на шарик к его весу ()? |
Решение | Рассмотрим силы, которые действуют на шарик в нашей жидкости (рис.1).
На наш шарик действуют: сила тяжести (); сила Архимеда (); сила трения (). Все эти силы направлены вдоль одной прямой. По второму закону Ньютона запишем уравнение :
В проекции на ось Y (рис.1) имеем:
Вес шарика по модулю равен силе тяжести:
Из закона Архимеда мы знаем, что:
Используя (1.2) и (1.4) выразим силу трения шарика о жидкость:
Из (1.5) и (1.3) найдем искомое отношение:
|
Задание | Горизонтальная трубка имеет переменное сечение. По ней течет вода. Площади поперечных сечений трубы на разных ее участках равны и (рис.2). Разность уровней воды в вертикальных трубках одинакового сечения составляет величину . Какой объем воды проходит через трубку за t с через сечение трубы ? |
Решение | Сделаем рисунок.
В качестве основы для решения задачи используем уравнение Бернулли, учитывая, что труба переменного сечения горизонтальна:
Из уравнения непрерывности имеем:
Разность давлений вертикальных столбиков жидкости составляет:
где – плотность жидкости. Из уравнения (2.1), получим:
Используем выражение (2.2) и (2.3), (2.4), имеем:
Искомый объем можно найти как:
|
Ответ |