Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Законы гидродинамики

Определение и законы гидродинамики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гидродинамика – это наука исследующая законы взаимодействия жидкостей (реальных газов) с движущимися и неподвижными поверхностями, рассматривающая условия и уравнения движения и равновесия жидкостей и газов.

Жидкость, в которой при любом ее движении не возникают силы внутреннего трения, называют идеальной. Иначе говоря, в идеальной жидкости существуют только силы нормального давления, которые однозначно определяются степенью сжатия и температурой жидкости. Модель идеальной жидкости используют тогда, когда скорости изменения деформаций в жидкости малы.

Одним из параметров, характеризующих состояние жидкости (газа) является давление (p), которое определяют как:

    \[p=\frac{F}{S}\  \qquad (1)\]

Давление при равновесии жидкости подчиняется закону Паскаля:

Давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково во всех направлениях. Давление одинаково передается во всем объеме, которое жидкость занимает.

Сила давления на нижние слои жидкости больше, чем на верхние слои. Из-за этого на тело, погруженное в жидкость (газ) действует выталкивающая сила, называемая силой Архимеда (F_A) (закон Архимеда):

    \[F_A=\rho Vg\  \qquad (2)\]

где \rho – плотность жидкости; V – объем тела, погруженного в жидкость.

В состоянии равновесия жидкости (газа) давление (p) меняется в зависимости от плотности (\rho ) и температуры (T) и однозначно определено ими. Соотношение:

    \[p=f(\rho ,T) \qquad(3)\]

в состоянии равновесия называют уравнением состояния.

Основным уравнением гидростатики является выражение:

    \[grad\ p=\overline{f}\  \qquad (4)\]

где \overline{f} – объемную плотность массовых сил. При равновесии жидкости плотность силы, действующая на единицу объема жидкости (\overline{f}) есть градиент скалярной функции. Это необходимое и достаточное условие консервативности плотности силы \overline{f}. Получается, что для равновесия жидкости надо, чтобы поле сил, в котором находится жидкость, было консервативным. В неконсервативных силовых полях равновесие не возможно.

Основным уравнением гидродинамики идеальной жидкости является уравнение Эйлера:

    \[\rho \frac{d\overline{v}}{dt}=\overline{f}-grad\ p\  \qquad (6)\]

где \frac{d\overline{v}}{dt} ускорение жидкости в рассматриваемой точке.

Закон охранения энергии для установившегося течения идеальной жидкости в гидродинамике представлен уравнением Д. Бернулли:

    \[\frac{\rho v^2}{2}+\rho gh+p=const\  \qquad (7)\]

где p – статическое давление – давление жидкости на поверхности тела, которое она обтекает; \frac{\rho v^2}{2}— динамическое давление; \rho gh — гидростатическое давление; h — высота столба жидкости.

Графически движение жидкости изображают при помощи линий тока. Их проводят так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости в соответствующих точках пространства. Жидкость, ограниченную линиями тока называют трубкой тока. При стационарном течении жидкости форма и расположение линий тока не изменяется.

Движение несжимаемой жидкости подчиняется уравнению неразрывности, которое записывают как:

    \[S_1v_1=S_2v_2=const\  \qquad (8)\]

S_1 и S_2 – сечения трубки тока.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Маленький шарик поднимается вверх с постоянной скоростью в жидкости, чья плотность в n раз больше, чем плотность материала шарика (\frac{\rho }{{\rho }_{sh}}=n). Каково отношение силы трения, которая действует на шарик к его весу (\frac{F_{tr}}{P})?
Решение Рассмотрим силы, которые действуют на шарик в нашей жидкости (рис.1).
Законы гидродинамики, пример 1

На наш шарик действуют: сила тяжести (m\overline{g}); сила Архимеда ({\overline{F}}_A); сила трения ({\overline{F}}_{tr}). Все эти силы направлены вдоль одной прямой. По второму закону Ньютона запишем уравнение :

    \[m\overline{g}+{\overline{F}}_A+{\overline{F}}_{tr}=0\  \qquad (1.1)\]

В проекции на ось Y (рис.1) имеем:

    \[-mg-F_{tr}=F_A \qquad (1.2)\]

Вес шарика по модулю равен силе тяжести:

    \[P=mg={\rho }_{sh}Vg\  \qquad (1.3)\]

Из закона Архимеда мы знаем, что:

    \[F_A=\rho Vg\  \qquad (1.4)\]

Используя (1.2) и (1.4) выразим силу трения шарика о жидкость:

    \[F_{tr}=\rho Vg-mg=\rho Vg-{\rho }_{sh}Vg\  \qquad (1.5)\]

Из (1.5) и (1.3) найдем искомое отношение:

    \[\frac{F_{tr}}{P}=\frac{\rho Vg - \rho_{sh}Vg}{\rho_{sh}Vg}=\frac{\rho }{\rho_{sh}}-1=n-1\]

ПРИМЕР 2
Задание Горизонтальная трубка имеет переменное сечение. По ней течет вода. Площади поперечных сечений трубы на разных ее участках равны S_1 и S_2 (рис.2). Разность уровней воды в вертикальных трубках одинакового сечения составляет величину \Delta h. Какой объем воды проходит через трубку за t с через сечение трубы S_1?
Решение Сделаем рисунок.
Законы гидродинамики, пример 2

В качестве основы для решения задачи используем уравнение Бернулли, учитывая, что труба переменного сечения горизонтальна:

    \[\frac{\rho {v_1}^2}{2}+p_1=\frac{\rho {v_2}^2}{2}+p_2\  \qquad (2.1)\]

Из уравнения непрерывности имеем:

    \[v_1S_1=v_2S_2\ \to v_2=\frac{v_1S_1}{S_2} \qquad (2.2)\]

Разность давлений p_2-p_1 вертикальных столбиков жидкости составляет:

    \[p_2-p_1=\ \rho g\Delta h\  \qquad (2.3)\]

где \rho – плотность жидкости. Из уравнения (2.1), получим:

    \[p_2-p_1=\frac{\rho{v_1}^2}{2}-\frac{\rho{v_2}^2}{2}\  \qquad (2.4)\]

Используем выражение (2.2) и (2.3), (2.4), имеем:

    \[\rho g\Delta h=\frac{\rho{v_1}^2}{2}-\frac{\rho }{2}{\left(\frac{v_1S_1}{S_2}\right)}^2\ \to v_1=\sqrt{\frac{2g\Delta h}{1-{\left(\frac{S_1}{S_2}\right)}^2}} \qquad (2.5)\]

Искомый объем можно найти как:

    \[V=v_1tS_1=tS_1\sqrt{\frac{2g\Delta h}{1-{\left(\frac{S_1}{S_2}\right)}^2}}\]

Ответ V=tS_1\sqrt{\frac{2g\Delta h}{1-{\left(\frac{S_1}{S_2}\right)}^2}}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.