Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Явление электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции было открыто М. Фарадеем в 1831 г. Это явление заключается в том, что если проводящий контур (проводник) поместить в переменное магнитное поле, то в контуре возникает электродвижущая сила индукции (ЭДС индукции). Если такой контур будет замкнут, то в нем потечет электрический ток, который называют током индукции.

Индукционный ток возникает в контуре, если он или его часть пересекает линии магнитной индукции, такой вывод сделал Фарадей. Магнитное поле – это вихревое поле, его линии всегда замкнуты. Линии индукции сцеплены с проводящим контуром. Изменение количества линий индукции, которые охвачены контуром, возникает, если они пересекают контур.

Значение явления электромагнитной индукции заключается в том, что оно показывает связь между электрическим и магнитными полями. Электрические токи порождают магнитные поля, а переменные магнитные поля вызывают токи.

Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции получен М. Фарадеем, современную формулировку данного закона мы знаем в интерпретации Максвелла.

ЭДС электромагнитной индукции (\varepsilon_i) в контуре, помещенном в переменное магнитное поле, равна по величине скорости изменения магнитного потока (\Phi_m), который проходит через поверхность, которую ограничивает рассматриваемый контур. При этом знаки ЭДС и скорости изменения магнитного потока противоположны.

В системе международных единиц (СИ) закон электромагнитной индукции записывают так:

    \[\varepsilon_i=-\frac{d\Phi_m}{dt} \qquad (1) \]

где \frac{d\Phi_m}{dt} – скорость изменения магнитного потока сквозь площадь, которую ограничивает контур. (Часто индекс у магнитного потока опускают и обозначают его Ф). Когда вычисляют ЭДС индукции и магнитный поток, учитывают то, что направление нормали к плоскости контура (\overrightarrow{n}) и направление его обода связаны. Вектор \overrightarrow{n} должен быть направлен так, чтобы из его конца обход контура проходил против часовой стрелки.

Если контур составлен из N витков, соединенных последовательно (имеем соленоид), то закон электромагнитной индукции записывают как:

    \[\varepsilon_i=-N\frac{d\Phi_m}{dt}=-\frac{d \Psi}{dt} \qquad (2) \]

где величина \Psi называется потокосцеплением.

Знак минус в законе (1) отображает закон Ленца, который говорит о том, что ток индукции всегда направлен так, что созданный им магнитный поток, через поверхность, ограничиваемую контуром, старается уменьшить изменения магнитного потока, которые вызывают возникновение этого тока.

Магнитный поток, который охватывает контур, способен изменяться, если контур перемещается в поле или повергается деформации, магнитное поле может изменяться во времени. Величина \frac{d\Phi_m}{dt}, являясь полной производной, способна учесть все эти причины.

При движении контура в постоянном магнитном поле, ЭДС индукции возникает во всех частях контура, которые пересекают линии магнитной индукции поля. Результирующую ЭДС находят как алгебраическую сумму ЭСД участков.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Какова ЭДС индукции, которая появляется в квадратной проводящей рамке со стороной a, в момент времени t_1, которая находится в переменном магнитном поле? Нормаль к рассматриваемой рамке составляет угол \alpha с направлением поля. Само поле изменяется по закону: B=B_0{\cos \omega t} (B_0;\ \omega – постоянные величины).
Решение Сделаем рисунок.
Явление электромагнитной индукции, пример 1

Основой для решения задачи является основной закон электромагнитной индукции:

    \[\varepsilon_i=-\frac{d\Phi_m}{dt} \qquad (1.1) \]

По определению магнитный поток равен:

    \[\Phi_m=BS{\cos \alpha } \qquad(1.2)\]

где площадь (S) квадратной рамки равна:

    \[S=a^2 \qquad (1.3) \]

а магнитная индукция поля определяется уравнением:

    \[B=B_0{\cos \omega t} \qquad (1.4) \]

Подставим выражения (1.2) – (1.4) в закон (1.1), получим уравнение, которое описывает изменение ЭДС индукции во времени:

    \[\varepsilon_i(t)=-\frac{d}{dt}\left(a^2B_0{\cos \omega t{\cos \alpha}} \right)=a^2{\cos \alpha} \omega {B_0\sin \omega t.} \]

Ответ \varepsilon_i(t_1)=a^2{\cos \alpha} \omega {B_0\sin \omega t_1}
ПРИМЕР 2
Задание Проводящее кольцо находится в магнитном поле, линии поля перпендикулярны плоскости кольца. Удельное сопротивление материала кольца равно \rho, его радиус r, диаметр проводника d. Какова величина скорости изменения магнитного поля (\left|\frac{dB}{dt}\right|), если сила индукционного тока в кольце равна I?
Решение ЭДС индукции в проводящем кольце можно найти, если известна сила тока в нем по закону Ома:

    \[\varepsilon_i=IR \qquad (2.1) \]

При этом сопротивление проводника определим как:

    \[R=\rho \frac{l}{S'} \qquad (2.2) \]

где l=2\pi r – длина окружности (длина проводника); S'=\pi \frac{d^2}{4} – площадь поперечного сечения проводника.

В соответствии с законом электромагнитной индукции:

    \[\left|\varepsilon_i\right|=\frac{d\Phi_m}{dt} \qquad (2.3) \]

Магнитный поток по определению равен:

    \[\Phi_m=BS{\cos \alpha =BS} \qquad(2.4)\]

у нас {\cos \alpha =1}, так как по условию задачи плоскость кольца перпендикулярна линиям поля. Подставим (2.4) в закон для ЭДС индукции, имеем:

    \[\left|\varepsilon_i\right|=\frac{d(BS)}{dt}=S\frac{dB}{dt}=\pi r^2\frac{dB}{dt} \qquad (2.5) \]

Приравняем правые части выражений (2.1) и (2.5):

    \[IR=\pi r^2\left|\frac{dB}{dt}\right| \qquad (2.6) \]

Подставим в (2.6) выражение для сопротивления кольца (2.2), выразим искомую величину:

    \[I\rho \frac{2\pi r}{\pi \frac{d^2}{4}}=\pi r^2\frac{dB}{dt}\to I\rho \frac{8}{\pi {rd}^2}=\left|\frac{dB}{dt}\right|\]

Ответ \left|\frac{dB}{dt}\right|=I\rho \frac{8}{\pi {rd}^2}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.