Теплоемкость идеального газа

Определение теплоемкости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если системе сообщают теплоту ( $\Delta Q$ ), то ее температура изменяется на величину $\Delta T,$ тогда физическая величина (C), равная

$C=\frac{\Delta Q}{\Delta T} \qquad (1)$

называется теплоемкостью.

Теплоемкость – это количество тепла, которое затрачивается для того, чтобы повысить температуру тела на один кельвин. Теплоемкость зависит от массы вещества, условий при которых системе сообщают теплоту. Уравнение (1) – это определение теплоемкости через интегральные параметры. Иногда удобнее использовать следующее определение теплоемкости:

$C=\frac{\delta Q}{dT} \qquad (2)$

где $\delta Q$ – бесконечно мало количество плоты, которое получает тело; dT – приращение температуры тела.

При единичной массе тела теплоемкость называют удельной. Обозначают ее обычно маленькой буквой c. Еще используют молярную теплоемкость ( $c_{\mu}$ ) – это теплоемкость одного моля вещества.

Теплоемкость и первое начало термодинамики

Используя первое начало термодинамики в интегральной записи, теплоёмкость можно найти как:

$C=\frac{\Delta U+A}{\Delta T} \qquad (3)$

где $\Delta U$ – изменение внутренней энергии термодинамической системы; A – работа системы над внешними силами. Для идеального газа имеем:

$C=\frac{\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}R\Delta T+A}{\Delta T} \qquad (4)$

где m – масса газа; $\mu$ – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная.

В дифференциальном виде:

$C=\frac{dU+pdV}{dT} \qquad (5)$

Для идеального газа теплоемкость равна:

$C=\frac{\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}RdT+pdV}{dT}=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}R+p\frac{dV}{dT} \qquad (6)$

Теплоемкость для процессов, проводимых в идеальном газе

Теплоемкость связана с характером процесса. Она может изменяться от бесконечных отрицательных величин до бесконечных положительных.

Рассмотрим изохорный процесс $(m=const;\ V=const)$ . При проведении изохорного процесса газ работы не совершает, поэтому теплоемкость газа в изохорном процессе ( $C_V$ ) равна:

$C_V=\frac{\Delta U}{\Delta T}\qquad (7);\ \ C_V=\frac{dU}{dT} \qquad (8)$

Или:

$C_V=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}R=\frac{i}{2}R\ \nu \qquad (9)$

При изобарном процессе ( $m=const;\ p=const$ ) теплоемкость обозначают как $C_p$ . Она равна:

$C_p=\frac{\Delta U+p\Delta V}{\Delta T}\qquad \left(10\right);\ \ C_p=\frac{dU+pdV}{dT} \qquad (11)$

Или:

$C_p=\frac{i+2}{2}R \nu \qquad (12)$

Теплоемкости, при постоянных давлении и объеме, являются функциями состояний. Надо отметить, что независимость теплоемкости от температуры не подтвердили эксперименты.

В изотермическом процессе теплоемкость идеального газа считают бесконечной:

$C=\pm \infty$

В адиабатном процессе теплоемкость равна нулю.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

На рис. 1 изображен график процесса АВ с постоянной массой идеального газа. Кривая, изображенная на рисунке – изотерма. Сравните теплоемкость в процессе АВ с теплоемкостью в этой же массы газа в изохорном процессе.

Решение

Теплоемкость при изохорном процессе в идеальном газе вычисляется при помощи формулы:

$C_V=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}R \qquad (1.1)$

Для постоянной массы одного и того же газа она величина постоянная.

По условию задачи с газом проводят изотермический процесс. В изотермическом процессе теплоемкость бесконечна. Получается, что в процессе АВ теплоёмкость больше.

Ответ

$C_{AB}>C_V$

ПРИМЕР 2

Задание

Каким будет знак молярной теплоемкости идеального газа в процессе: $m=const;\ \ T^2V=const$ , если молекулы этого газа жесткие и являются трехатомными.

Решение

У трехатомных жестких молекул число степеней свободы равно шести ( $i=6$ ). Для нахождения теплоемкости воспользуемся выражением:

$C=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}R+p\frac{dV}{dT} \qquad (2.1)$

Уравнение процесса $T^2V=const$ потребуется нам для нахождения производной $\frac{dV}{dT}$ . Выразим объем из уравнения процесса:

$V=\frac{const}{T^2} \qquad (2.2)$

В таком случае:

$\frac{dV}{dT}=-2\frac{const}{T^3} \qquad (2.3)$

Давление выразим из уравнения состояния идеального газа:

$pV=\frac{m}{\mu}RT\to p=\frac{m}{\mu}\frac{RT}{V} \qquad (2.4)$

Подставим (2.3) и (2.4) в (2.1), имеем:

$C=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}R+\frac{m}{\mu}\frac{RT}{V}\left(-2\frac{const}{T^3}\right)=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}R-2\frac{mR}{\mu}\frac{const}{VT^2}=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}R-2\frac{mR}{\mu}\frac{const}{const}=\frac{m}{\mu}R\left(\frac{i}{2}-2\right)$

При $i=6$ молярная теплоемкость равна:

$c_{\mu}=\frac{C}{\nu}=R\left(\frac{i}{2}-2\right)=R\left(\frac{6}{2}-2\right)R>0$