Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства дисперсии

Определение и свойства дисперсии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дисперсией электромагнитной волны (и света в частности) называют зависимость фазовой скорости в веществе от частоты (длины волны).

Электромагнитная волна не подвержена дисперсии только в вакууме.

Дисперсией света называют явление, которое связано с тем, что показатель преломления вещества зависит от частоты (или длины волны). Такую зависимость записывают в виде функции:

    \[n({\lambda}_0)=f\left({\lambda}_0\right) \qquad (1), \]

где {\lambda}_0 – длина волны света в вакууме.

Сильной дисперсии подвержены волны де Бройля, потому что фазовая скорость (v_f) свободной нерелятивистской частицы зависит от длины волны:

    \[v_f=\frac{h}{2m\lambda} \qquad (2), \]

где h=6,62\cdot {10}^{-34}Дж \cdot c – постоянная Планка; m – масса частицы.

Первые эмпирические исследования дисперсии проводил И. Ньютон, изучая преломление света в стеклянной призме.

Особенно ярко характер дисперсии проявляется, если использовать метод скрещенных призм. Одна из стеклянных призм, ее называют вспомогательной, разворачивает пучок света вдоль одно из направлений. Вторая призма, изготавливается из вещества, которое исследуют. Она отклоняет каждый луч в другом направлении. Данное отклонение определяет величина n({\lambda}_0) для конкретного, рассматриваемого вещества. При этом искривленная разноцветная полоса отображает ход показателя преломления.

Для всех прозрачных и бесцветных сред функция, представленная выражением (1) в видимой части спектра представляется графиком аналогичным рис.1.

Свойства дисперсии, рисунок 1

Рис. 1

Из графика рис.1 видно, что при увеличении длины волны показатель преломления растет с растущей скоростью, так, что величина D=\frac{dn}{d{\lambda}_0} , уменьшается по величине с ростом длины волны. Параметр D называют дисперсией вещества.

Нормальная и аномальная дисперсия

График рис.1 соответствует, так называемой нормальной дисперсии вещества. Нормальную дисперсию приближенно описывают при помощи формулы:

    \[n=a+\frac{b}{{\lambda} ^2_0}+\frac{c}{{\lambda} ^4_0}+\dots \qquad (3), \]

где a,b,c – постоянные величины, которые определяют эмпирически для каждого вещества. Чаще всего применяя выражение (3) его ограничивают двумя первыми слагаемыми в правой части. В таком случае дисперсия (D) определяется как:

    \[D=\frac{dn}{d{\lambda}_0}=-\frac{2b}{{\lambda} ^3_0} \qquad (4) \]

Если среда поглощает часть световой волны, тогда в области поглощения и около нее дисперсия проявляет аномалию. Тогда на некотором участке волны с меньшей длиной волны испытывают меньшее преломление, чем более длинные. Такой ход связи между коэффициентом преломления длиной волны называется аномальной дисперсией.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Если пучок света падает на грань призмы, показатель преломления которой n по очень маленьким углом и преломляющий угол призмы (A) мал, то угол отклонения (\varphi) не зависит от угла падения. Чему он равен?
Решение Сделаем рисунок.

Рис. 2

Рассмотрим ход луча света при прохождении сквозь призму. Этот луч преломляется два раза и в результате испытывает отклонение на угол \varphi, равный (см. рис.2):

    \[\varphi =\left({\alpha}_1-{\beta}_1\right)+\left(\alpha_2-\beta_2\right)={\alpha}_1+{\alpha}_1-A \qquad (1.1) \]

Если углы А, {\alpha}_1 – маленькие (по условию задачи), то малыми являются все остальные углы в выражении (1.1). Учитывая малость углов закон преломления запишем не через синусы этих углов, а непосредственно через величины самих углов ( в радианах):

    \[\frac{{\alpha}_1}{{\beta}_1}=n;\ \ \frac{{\beta}_2}{{\alpha}_2}=\frac{1}{n} \qquad (1.2) \]

Принимая во внимание, что {\beta}_1+\beta_2=A, получим:

    \[{\alpha}_2={\beta}_2n=n\left(A-{\beta}_1\right)=nA-{\alpha}_1\ \to {\alpha}_1+{\alpha}_2=nA \qquad (1.3) \]

Значит, искомый угол (\varphi) равен:

    \[\varphi =A\left(n-1\right) \qquad (1.4) \]

Ответ \varphi =A\left(n-1\right). Данная формула объясняет, почему пучок белого света раскладывается в спектр при дисперсии в призме. Это происходит потому, что показатель преломления – функция длины волны. Получается, что лучи, имеющие разные длины волн после того, как пройдут через призму, отклонятся на разные углы.
ПРИМЕР 2
Задание Для большинства бесцветных прозрачных веществ показатель преломления зависит от длины волны как: n=a+\frac{b}{{\lambda} ^2_0}. Из данных эксперимента (табл.1) найдите величины постоянных a, b.

\lambda_0(10^{-9}) м

759

397

n

1,510

1,531

Решение

    \[n_1=a+\frac{b}{{\lambda} ^2_{10}}\to a=n_1-\frac{b}{{\lambda} ^2_{10}} \qquad (2.1) \]

    \[n_2=a+\frac{b}{{\lambda} ^2_{20}}\to n_2=n_1-\frac{b}{{\lambda} ^2_{10}}+\frac{b}{{\lambda} ^2_{20}}\to n_2-n_1=b\left(\frac{1}{{\lambda} ^2_{20}}-\frac{1}{{\lambda} ^2_{10}}\right)=b\frac{{\lambda} ^2_{10}{-\lambda} ^2_{20}}{{\lambda} ^2_{10}{\lambda} ^2_{20}}\to \ \]

    \[b=\frac{(n_2-n_1){\lambda} ^2_{10}{\lambda} ^2_{20}}{{\lambda} ^2_{10}-{\lambda} ^2_{20}} \qquad (2.2) \]

Тогда коэффициент a равен:

    \[a=n_1-\frac{\left(n_2-n_1\right){\lambda} ^2_{20}}{{\lambda} ^2_{10}-{\lambda} ^2_{20}} \qquad (2.3) \]

Подставим имеющиеся значения n и {\lambda}_0 из таблицы, получим:

    \[b=\frac{(1,531-1,510){(759)}^2{(397)}^2}{{(759)}^2-{(397)}^2}=4,56\cdot {10}^3\ \left(nm^2\right)\]

    \[a=1,510-\frac{4,56\cdot {10}^3}{{\left(759\right)}^2}=1,502\]

Ответ a=1,502;\ b=4,56\cdot {10}^3 нм2
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.