Ширина интерференционной полосы

Исследуем две цилиндрические когерентные волны света, которые распространяются от источников $S_1$ и $S_2$ (рис.1), которые являются параллельными узкими щелями.

Поле и полосы интерференции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Область пространства, в которой рассматриваемые нами волны перекрываются, называют полем интерференции.

В этой области можно наблюдать чередование максимумов и минимумов интенсивности света. Если поле интерференции попадает на экран, то наблюдается интерференционная картина в виде чередования светлых и темных полос. Будем считать, что экран параллелен плоскости, в которой расположены источники света ( $S_1$ и $S_2$ ). Рассмотрим точку А, на экране. Положение которой задает координата x на оси OX (ось перпендикулярна к линии, соединяющей источники $S_1$ и $S_2$ ). За начало отсчета примем точку O, расположенную посередине между источниками света. Будем считать, что колебания световых волн от рассматриваемых источников происходит в одной фазе. Из рис.1 следует, что:

$s^2_1=l^2+{\left(x-\frac{b}{2}\right)}^2;\ \ s^2_2=l^2+{\left(x+\frac{b}{2}\right)} ^2 \qquad (1)$

Найдем из (1) $s^2_2-s^2_1$ :

$s^2_2-s^2_1=\left(s_2+s_1\right)\left(s_2-s_1\right)=2bx \qquad (2)$

Для того чтобы на экране получалась различимая интерференционная картина расстояние между щелями (b) должно быть существенно меньше, чем величина l. Тогда можно принять, что $s_2+s_1\approx 2l.$ В таком случае:

$s_2-s_1=\frac{xb}{l} \qquad (3)$

Используя выражение (3), получим, что оптическая разность хода ( $\Delta$ ) равна:

$\Delta =n\left(s_2-s_1\right)=n\frac{xb}{l} \qquad (4)$

где n – показатель преломления вещества, в котором распространяются волны света. Используя условие получения максимума интенсивности света при наложении когерентных волн:

$\Delta =\pm m{\lambda}_0 \qquad (5)$

где ${\lambda}_0$ – дина волны света в вакууме; $m=0,1,2,\dots$ Приравняем правые части выражений (4) и (5), получим координаты максимумов интенсивности:

$n\frac{x_{max}b}{l}=\pm m\lambda_0\to x_{max}=\pm m\frac{\lambda_0l}{nb}=\pm m\frac{\lambda l}{b} \qquad (6)$

где $\lambda =\frac{{\lambda}_0l}{nb}$ – длина волны света в веществе. Используя условие возникновения минимумов интенсивности при наложении волн света:

$\Delta =\pm (m+\frac{1}{2}{)\lambda}_0 \qquad (7)$

Получим координаты минимумов:

$x_{min}=\pm \left(m+\frac{1}{2}\right)\frac{{\lambda}_0l}{nb}=\pm \left(m+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda l}{b} \qquad (8)$

Ширина интерференционной полосы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Расстояние между соседними максимумами интенсивности называют расстоянием между интерференционными полосами.

Расстояние между соседними минимумами интенсивности носит название ширины интерференционной полосы. Из выражений (7) и (8) следует, что ширина интерференционной полосы и расстояние между полосами интерференции равны, если обозначить их как $\Delta x$ , то имеем:

$\Delta x=\frac{l}{b}\lambda \qquad (9)$

В соответствии с формулой (9) можно сделать вывод о том, что ширина полосы интерференции увеличивается с уменьшением расстояния между источниками света (b). Если b будет сравнимо с l, то расстояние между полосами интерференции станет порядка длины волны. При таком условии полосы интерференции становятся не различимыми. Отсюда делается вывод (который мы уже декларировали): для получения четкой картины интерференции необходимо, чтобы выполнялось условие:

$b\ll l \qquad (10)$

Ширина интерференционных полос зависит от длины волны (9). Только в центре интерференционной картины (при $x=0$ ), максимумы всех длин волн совпадают. При удалении от центра картины максимумы разных длин волн смещаются по отношению друг к другу все больше и больше. Это приводит к смазыванию картины интерференции, если она наблюдается в белом свете. Если исследуется монохроматический свет, то число различимых полос при интерференции увеличивается.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Как эмпирическим путем впервые были определены длины волн имеющих разный цвет?

Решение

Длины волн для световых лучей, имеющих разный цвет, были найдены при измерении ширины полос интерференции ( $\Delta x$ ). В эксперименте были известны расстоянии между источниками света (b) и расстоянии от линии нахождения источников света до экрана с интерференционной картиной (l). В таком случае, длину волны можно вычислить, применяя формулу:

$\lambda =\frac{\Delta x\ b}{l}$

ПРИМЕР 2

Задание

В опыте Юнга зеленый фильтр света ( ${\lambda}_1=5\cdot {10}^{-7}$ м) заменили на красный ${(\lambda}_2=6,5\cdot {10}^{-7}$ м). Найдите отношение ширины интерференционных полос ( $\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}$ ).

Решение

Изобразим ситуацию прохождения света от щелей до экрана в опыте Юнга (рис.2).

Ширина интерференционной полосы, пример 1

В опыте Юнга получают классическую картину интерференции, источником света служит ярко освещенная щель, от которой волна света падает на две узкие равноудаленные щели (на рис.2 они изображены точками), параллельные первой. Так, две щели играют роль когерентных источников света. Картина интерференции наблюдается на экране, экран параллелен щелям. Ситуация аналогичная той, что мы рассматривали в теоретической части раздела. Используем формулу, полученную для ширины интерференционной полосы:

$\Delta x=\frac{l}{b}\lambda \qquad (2.1)$