Работа при адиабатическом процессе

Определение и общие сведения об адиабатических процессах

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Адиабатическим называют процесс, при котором термодинамическая система не обменивается теплотой окружающей средой:

$\Delta Q=0\ \qquad (1)$

Уравнением адиабатического процесса в параметрах $p,V$ имеет вид:

$pV^{\gamma }=const\ \qquad (2)$

где $\gamma$ – показатель адиабаты . Для идеального газа $\gamma =\frac{i+2}{i}.$

К адиабатическим процессам можно отнести все термодинамические процессы, которые протекают с высокой скоростью.

Зная первое начало термодинамики в дифференциальном виде:

$\delta Q=\delta A+dU\ (3)$

отталкиваясь от данного выше определения для адиабатного процесса первое начало термодинамики преобразуется к виду:

$\delta A=-dU\ \qquad (4)$

где $dU=\frac{i}{2}\nu RdT$ – элементарное изменение внутренней энергии идеального газа.

Выражение (3) означает, что при адиабатическом процессе газ совершает работу за счет уменьшения своей внутренней энергии. В интегральном виде уравнение (4) запишем как:

$A=-\Delta U\ \qquad (5)$

Работа при адиабатическом процессе

Найдем выражение для вычисления работы, которую совершает идеальный газ в адиабатном процессе. За основу примем уравнение (3) в виде:

$\delta A=-\frac{i}{2}\nu RdT \qquad (6)$

Если газ расширяется от объема $V_1$ до объема $V_2$ , то его температура уменьшается от $T_1$ до $T_2$ . Проведем интегрирование выражения (6), получим:

$A=-\frac{i}{2}\nu R\int^{T_2}_{T_1}{dT=}\frac{i}{2}\nu R\left(T_1-T_2\right) \qquad (7)$

Для перехода в выражении (7) в правой части к другим параметрам состояний газа используют уравнение процесса в виде:

$TV^{\gamma -1}=const\ \to T_2=\frac{{V_1}^{\gamma -1}}{{V_2}^{\gamma -1}}T_1 \qquad (8)$

Подставим вместо $T_2$ правую часть (8) в формулу (7), имеем:

$A=\frac{i}{2}\nu R\left(T_1-\frac{{V_1}^{\gamma -1}}{{V_2}^{\gamma -1}}T_1\right) \qquad (9)$

Или если использовать уравнение Менделеева — Клапейрона для первого состояния газа:

$p_1V_1=\nu RT_1\ \qquad (10)$

То выражение (9) перепишем как:

$A=\frac{p_1V_1}{\gamma -1}\left(1-\frac{{V_1}^{\gamma -1}}{{V_2}^{\gamma -1}}\right) \qquad (11)$

где $\gamma -1=\frac{2}{i}.$

Работа, которую совершает газ при адиабатическом расширении меньше, чем, например, при изотермическом, при тех же начальной и конечной температурах. Это происходит из-за того, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом процессе температуру поддерживают, подводя к термодинамической системе теплоту. Вследствие этого, в изотермическом процессе при увеличении объема газа давление газа уменьшается только за счет уменьшения плотности вещества. Тогда как при адиабатном расширении давление газа уменьшается за счет уменьшения плотности газа и средней кинетической энергии, то есть температуры.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Идеальный газ (число степеней свободы молекулы $i$ ) адиабатически расширили, при этом его объем увеличился в $n$ раз, а внутренняя энергия уменьшилась на величину $\Delta U$ . Какова масса газа, если начальная его температура равна $T_1.$

Решение

Первое начало термодинамики для адиабатического процесса запишем как:

$A=-\Delta U \qquad (1.1)$

В качестве основы для решения задачи удобно использовать формулу для вычисления работы в виде:

$A=\frac{\nu RT_1}{\gamma -1}\left(1-\frac{{V_1}^{\gamma -1}}{{V_2}^{\gamma -1}}\right)=\frac{RT_1}{\gamma -1}\frac{m}{\mu }(1-{\left(\frac{1}{n}\right)}^{\gamma -1}\right) \qquad (1.2)$

где $\gamma =\frac{i+2}{i},\ \frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{n}.$

Выразим массу газа из формулы (1.2), получим:

$m=\frac{A\left(\gamma -1\right)\mu }{RT_1(1-{\left(\frac{1}{n}\right)}^{\gamma -1})} \qquad (1.3)$

Учитывая равенство (1.1), масса равна:

$m=\frac{-\Delta U\left(\gamma -1\right)\mu }{RT_1(1-{\left(\frac{1}{n}\right)}^{\gamma -1})}$

Ответ

$m=\frac{-\Delta U\left(\gamma -1\right)\mu }{RT_1\left(1-{\left(\frac{1}{n}\right)}^{\gamma -1}\right)}$

ПРИМЕР 2

Задание

Каково отношение работ ( $\frac{A_{12}}{A_{13}}$ ) в процессах, представленных на рис.1? Процесс (2) адиабатный. Считайте известными начальное давление газа ( $p_1$ ), начальный объем газа ( $V_1$ ) и коэффициент Пуассона для рассматриваемого газа ( $\gamma$ ). Кроме того известно, что $\frac{V_2}{V_1}=n.$

Работа при адиабатическом процессе, пример 1

Решение

На рис.1 представлены два процесса. Процесс 1-2 изобарный ( $p_1=const$ ). Процесс 1-3 адиабатный. Работу в изобарном процессе найдем как:

$A_{12}=p_1\left(V_2-V_1\right)=p_1V_1\left(n-1\right) \qquad (2.1)$

Работу в адиабатном процессе в нашем случае удобнее найти как:

$A_{13}=\frac{p_1V_1}{\gamma -1}\left(1-\frac{{V_1}^{\gamma -1}}{{V_2}^{\gamma -1}}\right)=\frac{p_1V_1}{\gamma -1}\left(1-\frac{1}{n^{\gamma -1}}\right) \qquad (2.2)$

Найдем отношение $\frac{A_{12}}{A_{13}}$ :

$\frac{A_{12}}{A_{13}}=\frac{(\gamma -1)n^{\gamma-1}\left(n-1\right)}{\left(n^{\gamma-1}-1\right)}$

Ответ

$\frac{A_{12}}{A_{13}}=\frac{(\gamma -1)n^{\gamma-1}\left(n-1\right)}{\left(n^{\gamma-1}-1\right)}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Работа при адиабатическом процессе

Определение и общие сведения об адиабатических процессах

Работа при адиабатическом процессе

Примеры решения задач