Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Основы гидродинамики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гидродинамика – это раздел физики сплошной среды, которая изучает законы равновесия и движения жидкости и реального газа.

Основы гидродинамики

Гидродинамика математически и качественно описывает процессы взаимодействия жидкости (газа) с поверхностями, находящимися в покое и движении.

Движение жидкости коренным образом отличается от перемещения твердых тел. При движении жидкость не сохраняет расстояние между ее частями (частицами). При рассмотрении движения элемента объема жидкости, его можно представить как совокупность трех движений: поступательного перемещения и вращения всего объема жидкости как единого целого и движение разных частей жидкости относительно друг друга. В общем случае при движении жидкости учитывают массовые силы и силы трения (вязкость) жидкости.

Перемещающуюся жидкость характеризуют при помощи двух параметров: скорости течения (\overrightarrow{v}) и гидродинамического давления (p). Основной задачей гидродинамики является определения \overrightarrow{v} и p при известной системе действующих внешних сил. Для решения данной задачи существенным является тип движения жидкости: установившееся движение или неустановившееся движение жидкости.

В состоянии равновесия жидкости (газа) давление (p) изменяется в зависимости от плотности (\rho ) и температуры (T) и однозначно определено ими. Соотношение:

    \[p=f(\rho ,T) \qquad (1)\]

в состоянии равновесия называют уравнением состояния.

Если движение жидкости является установившимся, то \overrightarrow{v} и p являются функциями координат и не зависят от времени. При неустановившемся движении жидкости скорость и давление являются функциями от координат и времени.

Движение жидкости называют течением, совокупность частиц перемещающейся жидкости – это поток. Так же потоком жидкости считают перемещающуюся массу жидкости, которая полностью или частично ограничена поверхностями. Эти поверхности могут образовываться самой жидкостью на фазовой границе или быть твердыми. Границы потоков – это стенки трубы, канала, поверхность, которую жидкость обтекает, открытая поверхность жидкости.

Графически движение жидкости изображают при помощи линий тока. Их проводят так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости в соответствующих точках пространства. Жидкость, ограниченную линиями тока называют трубкой тока. При стационарном течении жидкости форма и расположение линий тока не изменяется.

Малая сжимаемость жидкости дает возможность в некоторых случаях полностью пренебречь изменением ее объема. При этом говорят о несжимаемой жидкости. Это идеализация, которую часто используют. Несжимаемая жидкость – это предельный случай сжимаемой жидкости, когда для получения бесконечно больших давлений, достаточно бесконечно малых сжатий.

Жидкость, в которой при любом ее движении не возникают силы внутреннего трения, называют идеальной. Иначе говоря, в идеальной жидкости существуют только силы нормального давления, которые однозначно определяются степенью сжатия и температурой жидкости. Модель идеальной жидкости используют тогда, когда скорости изменения деформаций в жидкости малы.

Закон Паскаля

Физическая величина, которая определяется нормальной силой, с которой жидкость действует на единицу площади поверхности, называют давлением (p):

    \[p=\frac{F}{S}\  \qquad (2)\]

Давление при равновесии жидкости подчиняется закону Паскаля:

Давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково во всех направлениях. Давление одинаково передается во всем объеме, которое жидкость занимает.

Закон Архимеда

Так как верхние слои жидкости оказывают давление на нижние, то нижние слои жидкости испытывают большее давление. В результате, на тело, погруженное в жидкость (газ) действует выталкивающая сила, называемая силой Архимеда (F_A):

    \[F_A=\rho Vg\  \qquad (3)\]

где \rho – плотность жидкости; V – объем тела, погруженного в жидкость.

Основное уравнение гидростатики

Основным уравнением гидростатики является выражение:

    \[grad\ p=\overrightarrow{f}\  \qquad (4)\]

Уравнение (4) означает, что при равновесии жидкости плотность силы, которая действует на единицу объема жидкости (\overrightarrow{f}) есть градиент однозначной скалярной функции. Это необходимое и достаточное условие консервативности плотности силы \overrightarrow{f}. Для равновесия жидкости необходимо, чтобы поле сил, в котором находится жидкость, было консервативным. В неконсервативных силовых полях равновесие не возможно.

В координатном виде выражение (4) представляют как:

    \[\frac{\partial p}{\partial x}=f_x,\ \frac{\partial p}{\partial y}=f_y,\ \frac{\partial p}{\partial z}=f_z \qquad (5)\]

Уравнение Эйлера

Основным уравнением гидродинамики идеальной жидкости считают уравнение Эйлера:

    \[\rho \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{f}-grad\ p\  \qquad (6)\]

где \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} ускорение жидкости в рассматриваемой точке.

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли получено швейцарским физиком Д. Бернулли в 1738 г. Оно является отображением закона сохранения энергии для установившегося течения идеальной жидкости:

    \[\frac{\rho v^2}{2}+\rho gh+p=const\  \qquad (7)\]

где p – статическое давление – давление жидкости на поверхности тела, которое она обтекает; \frac{\rho v^2}{2}— динамическое давление; \rho gh — гидростатическое давление; h — высота столба жидкости.

Если оба сечения потока идеальной жидкости находятся на одной высоте, то для этих сечений уравнение Бернулли можно записать как:

    \[\frac{\rho {v_1}^2}{2}+p_1=p_2+\frac{\rho {v_2}^2}{2} \qquad (8)\]

Уравнение неразрывности

Рассмотрим трубку тока. Выберем два ее сечения S_1 и S_2, перпендикулярные направлению скорости жидкости. Если жидкость является несжимаемой (\rho =const), то через сечение S_1 проходит такой же объем жидкости, как и через сечение S_2:

    \[S_1v_1=S_2v_2=const\  \qquad (9)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание По горизонтальной трубке течет жидкость (рис.1). Направление течения указано стрелками. Разность уровней жидкости в вертикальных трубках составляет \Delta h (трубки имеют одинаковые радиусы). Какова скорость течения жидкости в трубе.
Основы гидродинамики, пример 1
Решение Основой для решения задачи служит уравнение Бернулли, для потока жидкости в горизонтальной трубе, для точек 1 и 2 (жидкость буем считать идеальной) которое запишем как:

    \[\frac{\rho v^2}{2}+p_1=p_2\  \qquad (1.1)\]

Получим, что разность давлений из (1.1) равна:

    \[\Delta p=p_2-p_1=\frac{\rho v^2}{2}\  \qquad (1.2)\]

Разница давлений \Delta p компенсируется дополнительным столбиком жидкости в трубке 2, поэтому \Delta p найдем как:

    \[\Delta p=\rho g\Delta h\  \qquad (1.3)\]

где \rho – плотность жидкости. Приравняем правые части выражений (1.2) и (1.3), получим:

    \[\frac{\rho v^2}{2}=\rho g\Delta h \qquad (1.4)\]

Выразим скорость из (1.4):

    \[v=\sqrt{2g\Delta h}\]

Ответ v=\sqrt{2g\Delta h}
ПРИМЕР 2
Задание Насос имеет горизонтальный цилиндр диаметром d_1. Поршень в насосе перемещается со скоростью v_1. Этот поршень выталкивает воду, через отверстие d_2. Какова скорость истечения воды из отверстия (v_2)?
Решение Данную задачу легко решить, если использовать уравнение неразрывности:

    \[S_1v_1=S_2v_2 \qquad (2.1)\]

Выразим скорость вытекания воды:

    \[v_2=\frac{S_2}{S_1}v_1\  \qquad (2.2)\]

Если считать отверстие круглым, то:

    \[S_2=\pi {d_2}^2 \qquad (2.3)\]

А так как насос цилиндрический, то площадь сечения поршня равна:

    \[S_1=\pi {d_1}^2 \qquad (2.4)\]

В результате получим:

    \[v_2=\frac{\pi {d_2}^2}{\pi {d_1}^2}v_1={\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2v_1\]

Ответ v_2={\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2v_1
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.