Основы электродинамики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Электромагнитные поля и электромагнитные взаимодействия исследует раздел физики, называемый электродинамикой.

Классическая электродинамика изучает и описывает свойства электромагнитных полей. Рассматривает законы, по которым электромагнитные поля взаимодействуют с телами, обладающими электрическим зарядом.

Базовые понятия электродинамики

Основой электродинамики неподвижной среды являются уравнения Максвелла. Электродинамика оперирует такими основными понятиями как электромагнитное поле, электрический заряд, электромагнитный потенциал, вектор Пойнтинга.

Электромагнитным полем называют особый вид материи, который проявляется при воздействии одного заряженного тела на другое. Часто при рассмотрении электромагнитного поля выделяют его составляющие: электрическое поле и магнитное поле. Электрическое поле создает электрический заряд или переменное магнитное поле. Магнитное поле возникает при движении заряда (заряженного тела) и при наличии переменного во времени электрического поля.

Электромагнитный потенциал – это физическая величина, определяющая распределение электромагнитного поля в пространстве.

Электродинамику разделяют на: электростатику; магнитостатику; электродинамику сплошной среды; релятивистскую электродинамику.

Вектор Пойнтинга (вектор Умова — Пойнтинга) – это физическая величина, являющаяся вектором плотности потока энергии электромагнитного поля. Величина данного вектора равна энергии, которая переносится в единицу времени сквозь единичную площадь поверхности, которая перпендикулярна направлению распространения электромагнитной энергии.

Электродинамика составляет основу для изучения и развития оптики (как раздела науки), физики радиоволн. Этот раздел науки является фундаментом для радиотехники и электротехники.

Классическая электродинамика, при описании свойств электромагнитных полей и принципов их взаимодействия, использует систему уравнений Максвелла (в интегральной или дифференциальной формах), дополняя ее системой материальных уравнений, граничными и начальными условиями.

Структурные уравнения Максвелла

Система уравнений Максвелла имеет такое же значение в электродинамике как законы Ньютона в классической механике. Уравнения Максвелла были получены в результате обобщения многочисленных экспериментальных данных. Выделают структурные уравнения Максвелла, записывая их в интегральном или дифференциальном виде и материальные уравнения, которые связывают векторов $\overline{E}, \overline{D}, \overline{B}, \overline{H},$ c параметрами, характеризующими электрические и магнитные свойства вещества.

Структурные уравнения Максвелла в интегральном виде (в системе СИ):

$\oint_L{\overline{H}d\overline{l}=\int_S{\left(\overline{j}+\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}\right)}}d\overline{S} \qquad (1)$

где $\overline{H}$ – вектор напряженности магнитного поля; $\overline{j}$ — вектор плотности электрического тока; $\overline{D}$ – вектор электрического смещения. Уравнение (1) отображает закон создания магнитных полей. Магнитное поле возникает при движении заряда (электрический ток) или при изменении электрического поля. Это уравнение – обобщение закона Био-Савара-Лапласа. Уравнение (1) носит название теоремы о циркуляции магнитного поля.

$\oint_L{\overline{E}d\overline{l}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_S{\overline{B}}}d\overline{S} \qquad (2)$

где $\overline{B}$ – вектор индукции магнитного поля; $\overline{E}$ – вектор напряжённости электрического поля; L – замкнутый контур, по которому происходит циркуляция вектора напряженности электрического поля. Другое название уравнения (2) — это закон электромагнитной индукции. Выражение (2) означает то, что вихревое электрическое поле порождается благодаря переменному магнитному полю.

$\oint_S{\overline{D}d\overline{S}=\int_V{\rho }}dV=q \qquad (3)$

где $q$ – электрический заряд; $\rho$ – плотность заряда. Уравнение (3) называют теоремой Остроградского — Гаусса. Электрические заряды являются источниками электрического поля, существуют свободные электрические заряды.

$\oint_S{\overline{B}d\overline{S}=0\ } \qquad (4)$

Уравнение (4) свидетельствует о том, что магнитное поле является вихревым. Магнитных зарядов в природе не существует.

Структурные уравнения Максвелла в дифференциальном виде (система СИ):

$rot\ \overline{E}=-\frac{\partial \overline{B}}{\partial t} \qquad (5)$

где $\overline{E}$ – вектор напряженности электрического поля; $\overline{B}$ – вектор магнитной индукции.

$rot\ \overline{H}=\overline{j}+\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}\ \qquad (6)$

где $\overline{H}$ — вектор напряженности магнитного поля; $\ \overline{D}$ – вектор диэлектрического смещения; $\overline{j}$ – вектор плотности тока.

$div\ \overline{D}=\rho \ \qquad (7)$

где $\rho$ – плотность распределения электрического заряда.

$div\ \overline{B}=0\ \qquad (8)$

Структурные уравнения Максвелла в дифференциальной форме определяют электромагнитное поле в любой точке пространства. Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то интегральная и дифференциальная формы уравнений Максвелла эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва, то интегральная форма записи уравнений Максвелла является более общей.

Для достижения математической эквивалентности интегральной и дифференциальной форм уравнений Максвелла дифференциальную запись дополняют граничными условиями.

Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле и наоборот, то есть эти поля неразрывны и образуют единое электромагнитное поле. Источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо переменное во времени магнитное поле. Магнитные поля возбуждаются движущимися электрическими зарядами (токами) или переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не являются симметричными относительно электрического и магнитного полей. Это происходит из-за того, что электрические заряды существуют, а магнитных нет.

Материальные уравнения

Систему структурных уравнений Максвелла дополняют материальными уравнениями, которые отражают связь векторов $\overline{E}, \overline{D}, \overline{B}, \overline{H},$ c параметрами, характеризующими электрические и магнитные свойства вещества.

$\overline{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overline{E} \qquad (5)$

$\overline{B}=\mu {\mu }_0\overline{H} \qquad (6)$

$\overline{j}=\gamma \overline{E} \qquad (7)$

где $\varepsilon$ – относительная диэлектрическая проницаемость, $\mu$ – относительная магнитная проницаемость, $\gamma$ — удельная электропроводность, ${\varepsilon }_0$ – электрическая постоянная, ${\mu }_0$ – магнитная постоянная. Среда в таком случае считается изотропной, неферромагнитной, несегнетоэлектрической.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Получите дифференциальную форму уравнения непрерывности из системы уравнений Максвелла.

Решение

В качестве основы для решения задачи используем уравнение:

$\oint_L{\overline{H}d\overline{l}=\int_S{\left(\overline{j}+\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}\right)}}d\overline{S} \qquad (1.1)$

где $S$ – площадь произвольной поверхности, на которую опирается замкнутый контур L. Из (1.1) имеем:

$\int_S{\overline{j}}d\overline{S}=\oint_L{\overline{H}d\overline{l}}-\int_S{\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}d\overline{S}} \qquad (1.2)$

Рассмотрим бесконечно малый контур, тогда

$\oint_L{\overline{H}d\overline{l}}=0\ \qquad (1.3)$

Так как поверхность является замкнутой, то выражение (1.2) можно переписать как:

$\oint_S{\overline{j}d\overline{S}=}-\oint_S{\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}d\overline{S}} \qquad (1.4)$

Запишем еще одно уравнение Максвелла:

$\oint_S{\overline{D}d\overline{S}=\int_V{\rho }}dV \qquad (1.5)$

Продифференцируем уравнение (1.5) по времени, имеем:

$\oint_S{\frac{\partial \overline{D}}{\partial t}d\overline{S}=\frac{\partial }{\partial t}(\int_V{\rho }}dV) \qquad (1.5)$

Принимая во внимание выражение (1.4), уравнение (1.5) представим в виде:

$\oint_S{\overline{j}d\overline{S}=-\frac{\partial }{\partial t}(\int_V{\rho }}dV)=-\frac{\partial q}{\partial t} \qquad (1.5)$

Мы получили уравнение (1.5) непрерывности в интегральной форме. Для того, чтобы перейти к дифференциальной форме уравнения непрерывности перейдем к пределу:

$\lim_{V\to 0} \frac{\oint_S{\overline{j}d\overline{S}}}{V}=-{\lim_{V\to 0} \frac{\int_V{\frac{\partial \rho }{\partial t}dV}}{V}}\to div\overline{j}=-\ \frac{\partial \rho }{\partial t}$

Мы получили уравнение непрерывности в дифференциальной форме: $div\overline{\ j}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}.$

ПРИМЕР 2

Задание

Бесконечно длинная тонкая прямая нить заряжена с постоянной плотностью $\tau$ . Используя систему уравнений Максвелла, получите формулу связывающую величину напряженности электрического поля ( $E$ ) и расстояние от нити ( $r$ ).

Решение

Сделаем рисунок.

Электрическое поле, которое будет создавать тонкая прямая бесконечная нить, будет иметь осевую симметрию, поэтому окружим нашу нить цилиндрической поверхностью радиуса $r$ , высотой равной длине нити ( $h$ ). На этой поверхности величина вектора напряженности будет везде одинакова. В качестве основы для решения задачи будем использовать уравнение из системы Максвелла (теорему Гаусса — Остроградского):