Неподвижный блок

Общие сведения о неподвижном блоке

Неподвижный блок относят к простым механизмам (рис.1). Будем считать, что блок вращается без трения. Если веревка натянута и не скользит по блоку, то на блок действуют две силы натяжения веревки ( $N_1$ и $N_2$ ). Точки приложения этих сил на рис. 1 обозначены как A и B, которые расположены на окружности блока.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неподвижным называют блок, ось которого является закрепленной и не перемещается при подъеме грузов.

Условия равновесия блока определяют из условия равновесия моментов сил, которые к нему приложены. Блок на рис.1 будет находиться в равновесии, если силы ${\overline{N}}_1={\overline{N}}_2$ , так как плечи этих сил одинаковы (ОА=ОВ). Блок – это рычаг, который имеет равные плечи. Блок, который представлен на рис.1 не дает выигрыша в силе, однако он позволяет изменять направление действия силы. Тянуть за веревку, которая идет сверху обычно удобнее, чем за веревку, которая идет снизу.

Вместо блока можно использовать гладкую неподвижную опору. При этом через нее перекидывают веревку или канат, скользящие по опоре, однако при этом существенно увеличивается сила трения.

Неподвижный блок выигрыша в работе не дает. Пути, которые проходят точки приложения сил, одинаковы, равны силы, значит, равны работы.

Комбинация блоков

Для получения выигрыша в силе используют комбинации блоков, например, двойной блок. При этом используют блоки разного радиуса, которые соединяют неподвижно между собой и насаживают на единую ось. К каждому блоку крепится веревка таким образом, что она может наматываться на блок или сматываться с него без скольжения. Плечи сил в данном случае неодинаковы. Двойной блок работает как неравноплечный рычаг. На рис.2 представлена схема двойного блока.

Условием равновесия такого рычага является выражение:

$N_1r_1=N_2r_2 \qquad (1)$

Двойной блок можно считать преобразователем силы. Прикладывая меньшую силу к веревке, приложенной к блоку большего радиуса, получают силу, которая действует со стороны веревки, навитой на блок меньшего радиуса.

Золотое правило механики

Формулировка «Золотого правила»: Отношение перемещений точек, к которым приложены силы в блоке всегда обратно отношению сил, которые приложены к этим точкам.

Для двойного блока, если для равновесия блока сила $N_1$ должна быть в n раз больше по величине, чем сила $N_2$ , то при вращении блока путь, который пройдет точка приложения силы $N_1$ будет в n раз меньше, чем путь $s_2,$ который проходит точка приложения силы $N_2$ .

Золотое правило было сформулировано в древности как: «То, что выиграно в силе, проиграно в пути». В математическом виде это правило представим как:

$\frac{N_2}{N_1}=\frac{s_1}{s_2} \qquad (2)$

Золотое правило стало первой самой простой формулировкой закона сохранения энергии. Золотое правило механики выполняется для случаев, когда движения простых механизмов равномерно или почти равномерно. Так, при вращении двойного блока концы веревок переместятся на расстояния, которые связаны с радиусами блоков как:

$\frac{s_1}{s_2}=\frac{r_1}{r_2} \qquad (3)$

Следовательно, для того чтобы выполнялось золотое правило для двойного блока должно выполняться условие:

$\frac{N_1}{N_2}=\frac{r_2}{r_1} \qquad (4)$

Когда силы ${\overline{N}}_1$ и ${\overline{N}}_2$ будут уравновешены, то блок должен покоиться или двигаться равномерно.

Примеры решения задач на неподвижный блок

ПРИМЕР 1

Задание

Через неподвижный блок перекинута нить, к которой привязаны грузы массами: $m_1$ и $m_2$ ( $m_1>m_2$ ). Какими будут ускорения грузов, если считать, что нить и блок не имеют массы, трения в оси блока нет?

Решение

Сделаем рисунок.

Если массой блока можно пренебречь, то силы натяжения нитей, действующие на грузы равны ( ${\overline{N}}_1={\overline{N}}_2$ ), обозначим их $\overline{N}$ . В соответствии со вторым законом Ньютона для первого груза имеем:

$m_1\overline{a}=m_1\overline{g}+\overline{N} \qquad (1.1)$

В проекции на ось Y (рис.3), имеем:

$m_1a=m_1g-N \qquad (1.2)$

Для второго груза:

$m_2\overline{a}=m_2\overline{g}+\overline{N} \qquad (1.3)$

Проекция на ось Y дает нам уравнение:

${-m}_2a=m_2g-N \qquad (1.4)$

Вычтем уравнение (1.4) из (1.2), получим:

$m_1a{+m}_2a=m_1g-m_2g\ \to a=\frac{g\left(m_1-m_2\right)}{m_1{+m}_2}$

Ответ

$a=\frac{g\left(m_1-m_2\right)}{m_1{+m}_2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить задачу, которая приведена в примере 1, если масса блока равна m. Блок можно считать однородным диском. Трение не учитывать.

Решение

Если следует учитывать массу блока, то натяжения нитей считать равными нельзя. Уравнения поступательного движения грузов запишем как (рис.3):

$m_1\overline{a}=m_1\overline{g}+{\overline{N}}_1 \qquad (2.1)$

$m_2\overline{a}=m_2\overline{g}+{\overline{N}}_2 \qquad (2.2)$

Проекции этих уравнений на ось Y дают нам систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{c} m_1a=m_1g-N_1;\ \\ -m_2a=m_2g-N_2. \end{array} \qquad (2.3)$

Уравнение, которое описывает вращение блока:

$J\overline{\varepsilon}={\overline{M}}_1+{\overline{M}}_2 \qquad (2.4)$

где $\overline{\varepsilon}$ – угловое ускорение вращения блока; J – момент инерции блока; ${\overline{M}}_1$ – момент силы натяжения нити первой; ${\overline{M}}_2$ – момент натяжения второй нити. Ось X выберем перпендикулярную плоскости рисунка и направим ее к нам. Тогда в проекции на эту ось выражения (2.3) имеем: