Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Момент инерции твердого тела

Определение и общие сведения о моменте инерции твердого тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Физическую величину, являющуюся мерой инертности тела, вращающегося вокруг оси называют моментом инерции тела (J).

Это скалярная (в общем случае тензорная) величина.

    \[J=\sum^k_{i=1}{{\triangle m}_ir^2_i} \qquad (1)\]

где \triangle m_i{\rm}– массы материальных точек, на которые разбивают тело; r^2_i на квадраты расстояний от материальной точки до оси вращения.

Для непрерывного однородного тела, вращающегося около оси, момент инерции чаще определяют как:

    \[J=\int_m{r^2dm=\int_V{r^2}\rho dV=\rho \int_V{r^2}dV} \qquad (2)\]

где r – функция положения материальной точки в пространстве; \rho – плотность тела; dV –объем элемента тела.

Тензор инерции

Совокупность величин:

    \[\left( \begin{array}{ccc} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\  I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\  I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{array} \right) \qquad (3)\]

называют тензором инерции. Диагональные элементы тензора: I_{xx},\ I_{yy},I_{zz}. Тензор инерции является симметричным.

Пусть все недиагональные элементы тензора равны нулю, не равны нулю только диагональные составляющие. Тогда тензор запишем как:

    \[\left( \begin{array}{ccc} I_{xx} & 0 & 0 \\  0 & I_{yy} & 0 \\  0 & 0 & I_{zz} \end{array} \right) \qquad (4)\]

В таком случае оси тела совпадают с осями координат и являются главными осями инерции. Величины:

    \[I_{xx}=I_x;\ I_{yy}=I_y;\ I_{zz}=I_z \qquad (5)\]

называют главными моментами инерции. Тензор в виде (4) приведен у диагональному виду. Моменты инерции, находящиеся вне главной диагонали матрицы (3) называются центробежными. Если оси системы координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции равны нулю.

Если главные оси проведены через центр масс тела, то они называются центральными главными осями, а тензор центральным тензором.

Главные оси не всегда для тела не всегда легко отыскать. Но иногда достаточно использовать соображения симметрии. Так, в шаре относительно любой точки главные оси можно найти так. Одна из главных осей проходит через центр шара, две другие ориентированы произвольно в плоскости, которая перпендикулярна первой оси.

Составляющие момента инерции сплошного тела относительно осей декартовой системы координат определены как:

    \[J_x=\int_m{\left(y^2+z^2\right)dm=}\int_V{\left(y^2+z^2\right)\rho dV=}\iiint_V{\left(y^2+z^2\right)\rho d}xdydz\ \qquad (3)\]

    \[J_y=\int_m{\left(x^2+z^2\right)dm=}\int_V{\left(x^2+z^2\right)\rho =}\iiint_V{\left(x^2+z^2\right)\rho d}xdydz\ \qquad (4)\]

    \[J_z=\int_m{\left(x^2+y^2\right)dm=}\int_V{\left(x^2+y^2\right)\rho dV=}\iiint_V{\left(x^2+y^2\right)\rho d}xdydz \qquad (5)\]

где x,y,z – координаты элемента массы тела (dm), которая обладает объемом dV.

Момент инерции твердого тела зависит от формы тела и распределения ассы в теле относительно оси вращения.

Величины, равные:

    \[r_x=\sqrt{\frac{J_x}{m}},\ r_y=\sqrt{\frac{J_y}{m}},\ r_z=\sqrt{\frac{J_z}{m}} \qquad (6)\]

называют радиусами инерции тела по отношению к соответствующим осям системы координат.

Теорема Штейнера

В некоторых случаях вычисление момента инерции существенно облегчает знание теоремы Штейнера (иногда ее называют теоремой Гюйгенса): Момент инерции тела (J) относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, которая проведена через центр масс рассматриваемого тела (J_0), плюс произведение массы тела (m) на расстояние между осями в квадрате, при условии, если оси параллельны:

    \[J=J_0+ma^2 \qquad (7)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Определите, чему равен момент инерции однородного цилиндра (J), имеющего радиус R и высоту H, относительно оси Z, которая совпадает с его собственной осью.
Решение И так ось вращения Z направлена вдоль оси цилиндра, начало системы координат пусть находится на середине высоты рассматриваемого тела (рис.1).
Момент инерции твердого тела, пример 1

Относительно оси Z в декартовой системе координат J_z равен:

    \[J_z=\int_m{\left(x^2+y^2\right)dm=}\int_V{\left(x^2+y^2\right)\rho dV=}\iiint_V{\left(x^2+y^2\right)\rho d}xdydz \qquad (1.1)\]

Так как плотность цилиндра постоянна, то интеграл (1.1) запишем как:

    \[J_z=\rho \iiint_V{\left(x^2+y^2\right)d}xdydz=\rho \int^{\frac{H}{2}}_{-\frac{H}{2}}{dz}\ \int_S{\left(x^2+y^2\right)dxdy} \qquad (1.2)\]

где S – площадь сечения цилиндра. Вычислять интеграл (1.2) удобнее всего в цилиндрической системе координат, ось которой направлена по оси Z. Тогда получаем:

    \[x=r\cos\ \varphi;\ y=r{\sin \varphi};\ x^2+y^2=r^2;\ dxdy=r dr d\varphi \qquad (1.3)\]

Используя равенства (1.3) интеграл (1.2) преобразуем к виду:

    \[J_z=\rho \int^{\frac{H}{2}}_{-\frac{H}{2}}{dz}\ \int^R_0{r^3\ dr\int^{2\pi}_0{d\varphi}}=\rho H\frac{R^4}{4}2\pi =\frac{mR^2}{2} \qquad (1.4)\]

где масса цилиндра равна:

    \[m=\rho \pi HR^2\]

Ответ J_z=\frac{mR^2}{2}
ПРИМЕР 2
Задание Чему равен момент инерции однородного шара относительно оси, которая является касательной к шару? Масса шара равна m, его радиус R.
Решение Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр масс равен:

    \[J_0=\frac{2}{5}mR^2 \qquad (2.1)\]

Для нахождения искомого момента мы можем воспользоваться теоремой Штейнера:

    \[J=J_0+ma^2 \qquad (2.1)\]

Так как шар имеет сферическую симметрию, то мы всегда можем необходимые нам оси провести как параллельные. Расстояние между осями по условию задачи равно радиусу шара, имеем:

    \[J=\frac{2}{5}mR^2+mR^2=\frac{7}{5}mR^2\]

Ответ J=\frac{7}{5}mR^2
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.