Момент инерции стержня

Определение и общие понятия момента инерции стержня

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Момент инерции (J) – это мера инертности тела, вращающегося вокруг оси.

Это скалярная (в общем случае тензорная) физическая величина, которую определяют как сумму произведений масс материальных точек ( $\Delta m_i$ ) на которые разбивают тело на квадраты расстояний ( $r^2_i$ ) от них до оси вращения:

$J=\sum^k_{i=1}{{\Delta m}_ir^2_i} \qquad (1)$

Если тело рассматривают как непрерывное, то суммирование в формуле (1) заменяют на интегрирование, массы элементов тела обозначают как $dm$ , тогда J тела, вращающегося около оси:

$J=\int_m{r^2dm=\int_V{r^2}\rho dV} \qquad (2)$

где r – функция положения материальной точки в пространстве; $\rho$ – плотность тела; $dV$ –объем элемента тела. Для однородного тела выражение (2) представим как:

$J=\rho \int_V{r^2}dV \qquad (3)$

Формула для вычисления момента инерции однородного стержня

Определим формулу для вычисления момента инерции однородного стержня, вращающегося относительно оси ( $OO'$ ), которая проходит перпендикулярно стержню и идет через его один конец. Масса стержня равна m, длина l (рис.1).

Выделим в объеме стержня материальную точку ( $dm$ ), которая находится от оси вращения на расстоянии r. Ее момент инерции равен:

$dJ=dmr^2 \qquad (4)$

Будем считать, что толщина стержня много меньше, чем его длина, тогда массу можно считать распределенной по длине стержня

$m=\tau l\ (5)$

Обозначим линейную плотность стержня как $\tau =const$ , тогда:

$dm=\tau dV \qquad (6)$

где $dV=dr$ – объем, стержня, который занимает наша материальная точка. Для нахождения момента инерции всего стержня проинтегрируем выражение (4), учитывая (6) и то, что $0\le r\le l$ :

$J=\int^l_0{\tau r^2dr=\tau}{\left.\frac{r^3}{3}\right|}^l_0=\tau \frac{l^3}{3} \qquad (7)$

Зная из (5), что:

$\tau =\frac{m}{l} \qquad (8)$

формулу (7) перепишем в виде:

$J=m\frac{l^2}{3}$

Мы получили, что момент инерции стержня вращающегося относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через один их его концов равен:

$J=m\frac{l^2}{3} \qquad (9)$

Для того чтобы получить момент инерции относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс стержня ( $AA'$ ), следует рассмотреть интеграл:

$J=\int{\tau r^2dr} \qquad (10)$

в котором расстояние изменяется в пределах: $- \frac{l}{2}\le r\le \frac{l}{2}$ :

$J=\int^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}}{\tau r^2dr=}{\left.\frac{r^3}{3}\right|}^{\frac{l}{2}}_{-\frac{l}{2}}=\tau \frac{l^3}{12}=\frac{ml^2}{12} \qquad (11)$

Формула (11) дает момент инерции относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной $l=0,6$ м и массой $m=0,1$ кг относительно оси, которая ему перпендикулярна и проходит через точку стержня находящуюся на расстоянии $a=0,2$ м от одного из его концов (рис.2).

Решение

Сделаем рисунок.

Момент инерции стержня, относительно оси, которая изображена пунктиром (проходящая через центр масс стержня), нам известен, он равен:

$J_0=m\frac{l^2}{12} \qquad (1.1)$

Ось, относительно которой нам следует найти момент инерции, параллельна исходной и находится от нее на расстоянии $r=\frac{l}{2}-a$ . Для решения задачи мы можем использовать теорему Штейнера (так как условие параллельности выполнено):

$J=J_0+m{(\frac{l}{2}-a)}^2=m\frac{l^2}{12}+m{(\frac{l}{2}-a)}^2 \qquad (1.2)$

Проведем вычисления искомого момента инерции:

$J=0,1\left(\frac{{\left(0,6\right)}^2}{12}+{\left(\frac{0,6}{2}-0,2\right)}^2\right)=0,004\ \left(kg\cdot m^2\right)$

Ответ

$J=0,004\ kg\cdot m^2$

ПРИМЕР 2

Задание

Два тонких однородных стержня соединены способом, который изображен на рис.3. Длина первого стержня Параметры второго стержня: $l_2$ и $m_2$ . Угол между стержнями равен 90^o. Ось $OO'$ параллельна второму стержню. Каким будет момент инерции системы?

Решение

Сделаем рисунок.

Момент инерции первого стержня относительно оси $OO'$ мы найдем, используя формулу:

$J_1=\frac{m_1l^2_1}{3} \qquad (2.1)$

Для того чтобы определить момент инерции второго стержня выделим на нем элементарную массу $dm$ . От любой элементарной массы данного стержня до оси вращения расстояние равно $l_1$ . Учтем это, когда запишем момент инерции для стержня номер два как:

$J_2=\int_{m_2}{l^2_1dm=m_2l^2_1} \qquad (2)$

Результирующий момент инерции данной системы стержней равен сумме моментов отдельных стержней:

$J=J_1+J_2=\frac{m_1l^2_1}{3}+m_2l^2_1$

Ответ

$J=\frac{m_1l^2_1}{3}+m_2l^2_1$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Момент инерции стержня

Определение и общие понятия момента инерции стержня

Формула для вычисления момента инерции однородного стержня

Примеры решения задач