Момент инерции сечения

Определение и общие понятия момента инерции сечения

Осевой (или экваториальный) момент инерции сечения относительно оси — это взятая по всей площади S сумма произведений бесконечно малых площадок ( $dS$ ) умноженных на квадраты расстояний от них до оси вращения:

$J_x=\int_S{y^2dS\ ; \ J_y=\int_S{x^2dS}} \qquad (1)$

Выделяют полярный момент инерции сечения по отношению к некоторой точке (полюсу). Полярным моментом инерции сечения называют взятую по свей площади S сумму произведений бесконечно малых площадок ( $dS$ ), умноженных на расстояние от этих площадок до полюса, взятые в квадрате:

$J_p=\int_S{{\rho }^2dS\ } \qquad (2)$

где ${\rho }^2=x^2+y^2.$ В случае перпендикулярности осей, относительно которых известны моменты инерции, полярный момент инерции по отношению к точке пересечения этих осей легко находится, как результат суммирования осевых моментов инерции:

$J_x+J_y=J_p \qquad (3)$

Иногда рассматривают центробежный момент инерции сечения, который находят как

$J_{xy}=\int_S{xy\ dS} \qquad (4)$

выражение (4) говорит о том, что центробежный момент инерции сечения относительно взаимно перпендикулярных осей есть сумма произведений элементарных площадок ( $dS$ ) на расстояния от них до рассматриваемых осей, по всей площади S.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны. Центробежные моменты инерции сечений могут быть больше и меньше нуля. Центробежный момент инерции сечения относительно осей, одна из которых или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

Осевой момент инерции сложного сечения по отношению к оси равен сумме осевых моментов инерции частей этого сечения относительно той же оси. Центробежный момент инерции сложного сечения относительно двух нормальных друг к другу осей можно найти как сумму центробежных моментов инерции частей по отношению к тем же осям. Полярный момент инерции обладает таким же свойством. Однако нельзя складывать моменты инерции, которые найдены относительно разных осей и точек.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Определите осевой момент инерции равнобедренного треугольного сечения относительно оси, которая проходит через его основание (рис.1). Длина основания треугольника равна $a$ , его высота $h$ .

Решение

Сделаем рисунок.

Выделим на треугольном сечении прямоугольную элементарную площадку $dS$ (см. рис.1). Она находится на расстоянии $y$ от оси вращения, длина одной ее стороны $a_y$ , другая сторона $dy$ . Из рис.1 следует, что:

$a_y=a\frac{h-y}{h} \qquad (1.1)$

Тогда площадь выделенной площадки найдем как:

$dS=a_ydy=a\frac{h-y}{h}dy\ \qquad (1.2)$

Момент инерции треугольного сечения относительно оси Z по определению равен:

$J_Z=\int_S{y^2dS}=\int^h_0{y^2}a\frac{h-y}{h}dy=\frac{a}{h}\left\{\int^h_0{y^2}hdy-\int^h_0{y^3dy}\right\}=\frac{a}{h}\left\{\frac{h^4}{3}-\frac{h^4}{4}\right\}=\frac{ah^3}{12}$

Ответ

$J_Z=\frac{ah^3}{12}$

ПРИМЕР 2

Задание

Найдите полярный момент инерции сечения в виде круга относительно его центра. Радиус круга равен $R$ .

Решение

Для начала найдем осевой момент инерции круга относительно оси OZ (см. рис.2). Выделим на круге элементарную площадку $dS$ в виде прямоугольника со сторонами $a_y$ и $dy$ . Из рис. 2 следует

$a_y=2R\cos \varphi \ \qquad (2.1)$

Тогда:

$dS=a_ydy=2R\cos \varphi dy \qquad (2.2)$

При этом:

$y=R{\sin \varphi \to dy=R\cos\ \varphi \ d\varphi \ } \qquad (2.3)$

Учитывая (2.3) получаем:

$dS=2R\cos\ \varphi R\cos \varphi d\varphi=2R^2{\cos}^2\ \varphi \ d\varphi \ \qquad (2.4)$

Момент инерции сечения относительно оси Z по определению равен:

$J_Z=\int_S{y^2dS=\int^{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{R^2{sin}^2\varphi \cdot }}2R^2{\cos}^2\ \varphi \ d\varphi =$

$=2R^4\int^{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{{sin}^2\varphi {\cos}^2\ \varphi \ d\varphi =}2R^4\left[\frac{\pi }{16}+\frac{\pi }{16}\right]=\frac{\pi R^4}{4} \qquad (2.5)$

Из симметрии ясно, то относительно оси OY (как и любой, проходящей через центр круга), момент инерции будет равен:

$J_Y=\frac{\pi R^4}{4}\ \qquad (2.6)$

Найдем полярный момент инерции круга в соответствии с формулой:

$J_p=J_Z+J_Y=2\frac{\pi R^4}{4}=\frac{\pi R^4}{2}$

Ответ

$J_p=\frac{\pi R^4}{2}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Момент инерции сечения

Определение и общие понятия момента инерции сечения

Примеры решения задач