Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Момент инерции цилиндра

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент инерции (J) – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела, вращающегося вокруг оси.

Это скалярная (в общем случае тензорная) величина. Для непрерывного однородного тела, вращающегося около оси, момент инерции определяют как:

    \[J=\int_m{r^2dm=\int_V{r^2}\rho dV=\rho \int_V{r^2}dV} \qquad (1)\]

где r – функция положения материальной точки в пространстве; \rho – плотность тела; dV –объем элемента тела.

Для получения формулы расчета момента инерции однородного цилиндра, мы его представим как совокупность бесконечно тонких дисков, а диск, в свою очередь – совокупность бесконечно тонких колец. Поэтому мы сначала получим выражение для момента инерции кольца, затем диска и только в самом окончании цилиндра.

Момент инерции тонкого кольца

Пусть кольцо имеем радиус R. Его называют бесконечно тонким, если его ширина и толщина много меньше радиуса. Пусть кольцо вращается относительно оси Z, перпендикулярной плоскости кольца и проходит через центр кольца (рис.1).

Момент инерции цилиндра, рисунок 1

Выделим на кольце элементарную массу (dm=\rho dV), \rho – плотность кольца; dV – элементарный объем кольца. Для нахождения момента инерции кольца нам следует найти интеграл (1). Все элементарные массы находятся на одном расстоянии от оси, то есть распределение массы кольца имеет цилиндрическую (осевую) симметрию.

    \[J_k=\int_m{R^2dm=R^2\int_V{dm}=mR^2} \qquad (2)\]

Момент инерции бесконечно тонкого однородного диска

Пусть диск имеет радиус R. Он вращается относительно оси, которая проходит через его центр инерции, перпендикулярно его плоскости. Диск представим как систему бесконечно тонких колец, радиусы которых изменяются от нуля до R. Одно из таких колец изображено на рис.2.

Момент инерции цилиндра, рисунок 2

Так как момент инерции тонкого кольца мы уже нашли, то его возьмем за элементарный:

    \[dJ=dmr^2 \qquad (3)\]

где dm – масса выделенного кольца, равная:

    \[dm=\rho \cdot 2\pi rdr \qquad (4)\]

Найдем момент инерции бесконечно тонкого диска, учитывая: 0\le r\le R:

    \[J_d=\int^R_0{\rho}\cdot 2\pi rdrr^2=2\pi \rho \int^R_0{r^3}dr=\frac{\pi \rho R^4}{2} \qquad (5)\]

массу бесконечно тонкого диска можно считать равной:

    \[m=\rho \pi R^2 \qquad (6)\]

тогда момент инерции диска равен:

    \[J_d=\frac{mR^2}{2} \qquad (7)\]

Момент инерции цилиндра

Для того, чтобы найти момент инерции однородного цилиндра, вращающегося относительно своей оси, представим его как совокупность дисков, толщиной dz. Формула (7) справедлива для диска имеющего толщину, поэтому в качестве элементарной массы мы возьмем диск. Тогда имеем:

    \[dJ=\frac{dmR^2}{2} \qquad (8)\]

где dm=\rho \pi R^2dz\ (0\le z\le H),\ H – высота цилиндра. Тогда момент инерции цилиндра относительно его собственной оси равен:

    \[J_C=\frac{R^2}{2}\int^H_0{\rho \pi R^2dz=\frac{R^2}{2}}\rho \pi R^2\int^H_0{dz}=\frac{mR^2}{2} \qquad (9)\]

где масса цилиндра равна:

    \[m=\rho \pi R^2H\ \qquad (10)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Каков момент инерции цилиндра (J_{oo'}) относительно оси (OO)' которая параллельна его оси и является касательной к его поверхности? Масса цилиндра равна m, радиус R.
Решение Сделаем рисунок.
Момент инерции цилиндра, пример 1

Зная момент инерции цилиндра относительно его оси, можно использовать теорему Штейнера, так как ось цилиндра и заданная оси параллельны, и тем самым легко найти момент инерции относительно оси OO':

    \[J_{oo'}=J_0+mR^2 \qquad (1.2)\]

где J_0=\ \frac{mR^2}{2}.

Получаем:

    \[\ J_{oo'}=\frac{mR^2}{2}+m=\frac{3}{2}mR^2\]

Ответ J_{oo'}=\frac{3}{2}mR^2
ПРИМЕР 2
Задание Однородный цилиндр радиусом R и массой mвращается около собственной оси, при этом его угловая скорость изменяется в соответствие с выражением: \omega =A+Bt\ (A,B – постоянные величины). Запишите выражение для касательной силы, которая приложена к цилиндру. Трение не учитывать.
Решение Сделаем рисунок.
Момент инерции цилиндра, пример 2

Момент касательной силы (F), приложенной к диску равен:

    \[M=F\cdot R \qquad (2.1)\]

синус угла между силой и радиус вектором равен единице, так как \overrightarrow{F}\bot \overrightarrow{R}. Основной закон динамики вращательного движения для твердого тела запишем как:

    \[M=J\varepsilon =J\frac{d\omega}{dt} \qquad (2.2)\]

Приравняем правые части выражений (2.1) и (2.2), учтем имеющееся уравнение для \omega (t):

    \[F\cdot R=J\frac{d}{dt}\left(A+Bt\ \right)=JB \qquad (2.3)\]

Из выражения (2.3) получим формулу для силы:

    \[F=\frac{JB}{R} \qquad (2.4)\]

Момент инерции цилиндра относительно его оси равен:

    \[J=\frac{mR^2}{2} \qquad (2.5)\]

Окончательно получаем:

    \[F=\frac{mR^2}{2}\frac{B}{R}=\frac{mRB}{2}\]

Ответ F=\frac{mRB}{2}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.