Модуль равнодействующей силы

Равнодействующая сила

В большом числе случаев на тело действует не одно, а несколько других тел, при этом говорят, что на тело действует несколько сил. Так при перемещении автобуса по дороге на него действуют: сила тяжести ( $m\overline{g}$ ), сила реакции полотна дороги ( $\overline{N}$ ), сила трения колес о дорогу ( ${\overline{F}}_{tr}$ ), сила сопротивления воздуха ( ${\overline{F}}_s$ ).

В том случае, если на тело оказывают воздействие несколько сил ( ${\overline{F}}_1,\ {\overline{F}}_2,\ {\overline{F}}_3,\dots$ ) в один и тот же момент времени, то ускорение ( $\overline{a}$ ) этого тела будет прямо пропорционально векторной сумме этих сил:

$\overline{a}=\frac{{\overline{F}}_1+\ {\overline{F}}_2+{\overline{F}}_3+\dots}{m} \qquad (1)$

m – масса, рассматриваемого тела. Находя векторную сумму сил, действующих на тело, мы находим равнодействующую этих сил, и заменяем несколько сил, одной.

Определение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

И так, сила, производящая на тело действие аналогичное, действию нескольких сил, называется равнодействующей силой.

Следует заметить, что действие каждой силы не зависит от того, есть ли другие силы или их нет.

Вычисление модуля равнодействующей силы

Пусть на тело действуют три силы, которые направлены по одной прямой (рис.1). Из рисунка видно, что они направлены в одну сторону.

Равнодействующая сил ( $\overline{F}$ ), приложенных к телу, будет равна:

$\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2+{\overline{F}}_3 \qquad (2)$

Для нахождения модуля равнодействующей сил выберем ось, обозначим ее X, направим по направлению действия сил. Тогда проектируя выражение (2) на ось X мы получим, что величина (модуль) равнодействующей (F) равен:

$F=F_1+F_2+F_3 \qquad (3)$

где $F_1;\ F_2;\ F_3$ – модули соответствующих сил.

Пусть на тело действуют две силы ${\overline{F}}_1$ и ${\overline{F}}_2$ , которые направлены под прямым углом друг по отношению к другу (рис.2).

Равнодействующая этих двух сил, приложенных к телу, будет равна:

$\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2 \qquad (4)$

Так как силы ${\overline{F}}_1$ и ${\overline{F}}_2$ направлены под углом друг к другу, то следует выбрать две оси координат. Мы выберем декартову систему координат, двух осей будет достаточно, оси X и Y перпендикулярны друг другу. В проекциях на эти оси выражения (4) имеем:

$X:\ F_x=F_2 \qquad (5)$

$Y:\ F_y=F_1 \qquad (6)$

Для нахождения модуля равнодействующей силы воспользуемся теоремой Пифагора:

$F=\sqrt{F^2_x+F^2_y}=\sqrt{F^2_2+F^2_1}$

Пусть на тело действуют две силы ${\overline{F}}_1$ и ${\overline{F}}_2$ , которые направлены под некоторым углом $\alpha$ друг к другу (рис.3). Равнодействующая этих сил находится по правилу параллелограмма. Модуль равнодействующей будет равен длине диагонали этого параллелограмма.

Можно сразу вспомнить формулу для вычисления длины диагонали параллелограмма, а можно действовать по предложенной выше схеме. Записать, что:

$\overline{F}={\overline{F}}_1+{\overline{F}}_2 \qquad (7)$

Выбрать оси X и Y (см. рис.3). Спроектировать на выбранные оси уравнение (7):

$X:\ F_x=F_1+F_2{\cos \alpha} \qquad (8)$

$Y:\ F_y=F_2{\sin \alpha} \qquad (6)$

По теореме Пифагора:

$F=\sqrt{F^2_x+F^2_y}=\sqrt{{F_2}^2\ +F^2_1+2F_1F_2{\cos \alpha}}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Чему равна равнодействующая сил, действующая на автобус, если он имеет массу 1000 кг, трогается с места и равноускоренно увеличивает скорость до $v=$ 20 $\frac{m}{c}$ за $t=$ 10 с?

Решение

Основой для решения задачи является второй закон Ньютона:

$\overline{F}=m\overline{a} \qquad (1.1)$

Так как все действие можно считать происходящим вдоль одной прямой, то в проекции на эту прямую выражения (1.1) имеем:

$F=ma \qquad (1.2)$

По условию задачи автобус увеличивает скорость с постоянным ускорением, следовательно:

$a=\frac{v-v_0}{t}=\frac{v}{t} \qquad (1.3)$

где $v_0=0$ , начальная скорость автобуса (по условию автобус трогается с места). Подставим выражение для ускорения в формулу (1.2), получим, что величина равнодействующей силы равен:

$F=m\frac{v}{t}$

Проведем вычисления:

$F=1000\cdot \frac{20}{10}=2000\ \left(N\right)$

Ответ

$F=2000$ Н

ПРИМЕР 2

Задание

Тело C под воздействием трех сил находится в равновесии (рис. 4). Чему равна сила $F_3$ , если известны силы $F_1;\ F_2$ . Силы ${\overline{F}}_1$ и ${\overline{F}}_2$ имеют взаимно перпендикулярные направления.

Решение

Так как силы ${\overline{F}}_1$ и ${\overline{F}}_2$ направлены под углом девяносто градусов по отношению друг к другу, то модуль их равнодействующей силы ( ${\overline{F}}_{12}$ ) найдем как:

$F_{12}=\sqrt{F^2_1+F^2_2} \qquad (2.1)$

Сила ${\overline{F}}_3$ , исходя из рисунка, направлена вдоль той же прямой, что и вектор силы ${\overline{F}}_{12}$ , но в противоположную сторону, значит модуль равнодействующей всех сил приложенных к телу С равен: