Индукция

Понятие «индукция» используется в различных отраслях знаний. Мы остановимся на индукции, которую рассматривают в физике.

Электромагнитная индукция

Явление электромагнитной индукции заключается в том, что в переменном магнитном поле в проводнике возникает электродвижущая сила (ЭДС). Если проводник замкнут, то есть является контуром, то в нем появляется ток индукции. Явление было открыто в 1831 г. М. Фарадеем.

Основной закон электромагнитной индукции состоит в следующем: ЭДС электромагнитной индукции ( $\varepsilon_i$ ) в контуре, помещенном в переменное магнитное поле, равна по величине скорости изменения магнитного потока ( $\Phi_m$ ), который проходит через поверхность, которую ограничивает рассматриваемый контур. При этом знаки ЭДС и скорости изменения магнитного потока противоположны.

В системе международных единиц (СИ) закон электромагнитной индукции записывают так:

$\varepsilon_i=-\frac{d\Phi_m}{dt} \qquad (1)$

где $\frac{d\Phi_m}{dt}$ – скорость изменения магнитного потока сквозь площадь, которую ограничивает контур. (Часто индекс у магнитного потока опускают и обозначают его Ф). Когда вычисляют ЭДС индукции и магнитный поток, учитывают то, что направление нормали к плоскости контура ( $\overline{n}$ ) и направление его обода связаны. Вектор $\overline{n}$ должен быть направлен так, чтобы из его конца обход контура проходил против часовой стрелки.

Индукция магнитного поля

Индукция магнитного поля ( $\overline{B}$ ) – это силовая характеристика данного поля, отображающая действие поля на заряженную частицу в рассматриваемой точке пространства.

Индукцию магнитного поля определяют, используя закон Ампера:

$B=\frac{1}{I}{\left(\frac{dF}{dl}\right)}_{max} \qquad (2)$

где $dF$ — сила, с которой магнитное поле действует на элементарный проводник с током; $dl$ – длина проводника; I – сила тока. Выражение ${\left(\frac{dF}{dl}\right)}_{max}$ означает, что берется предел отношения. $\overline{B}$ направлен перпендикулярно элементу $dl$ , и направлению силы Ампера. Если смотреть из конца $\overline{B}$ , то вращение по кратчайшему расстоянию от направления силы Ампера к направлению силы тока в проводнике должно происходить против часовой стрелки.

Выражение для силы Лоренца также можно применять для определения индукции магнитного поля:

$B=\frac{F_L}{qv{\sin \alpha}} \qquad (3)$

где q – заряд частицы, движущейся в магнитном поле; v – скорость движения частицы; $\alpha$ – угол между направлением скорости частицы и вектором поля. Направления силы Лоренца, векторов скорости и магнитной индукции связаны между собой правилом левой руки. Если левую руку расположить так, что в нее входит $\overline{B}$ , четыре вытянутых пальца направить по $\overline{v},$ то отогнутый на 90^o большой палец укажет направление силы, с которой магнитное поле действует на положительно заряженную частицу.

Вращающийся момент, который действует на рамку в магнитном поле, так же используют для того, чтобы дать определение магнитной индукции. Предполагается, что магнитное поле однородно. Нормаль к рамке направлена перпендикулярно магнитному полю, то

$B=\frac{M_{max}}{p_m} \qquad (4)$

где $M_{max}$ – максимальный вращающий момент, действующий на рамку; $p_m$ – магнитный момент рамки.

Электрическая индукция

Электрическая индукция (вектор электрического смещения ( $\overline{D}$ )) – это векторная величина, являющаяся характеристикой электрического поля, равная:

$\overline{D}={\varepsilon}_0\overline{E}+\overline{P} \qquad (5)$

где $\overline{E}$ – вектор напряженности электрического поля; $\overline{P}$ – вектор поляризации; ${\varepsilon}_0$ – электрическая постоянная.

В электрически изотропном веществе вектор электростатической индукции связан с вектором напряженности электрического поля выражением:

$\overline{D}={\varepsilon}_0\varepsilon \overline{E} \qquad (6)$

где $\varepsilon$ – диэлектрическая проницаемость вещества. Линии вектора $\overline{D}$ начинаются и заканчиваются только на свободных зарядах.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике записывается в виде:

$\Phi_E=\oint_S{\overline{D}d\overline{S}=\oint_S{D_ndS}=Q} \qquad (7)$

Выражение (7) означает, что поток ( $\Phi_E$ ) вектора электростатической индукции ( $\overline{D}$ ) в диэлектрике через произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, которые находятся внутри избранной поверхности. В данной форме теорема Гаусса выполняется и для однородной и изотропной среды, так и для неоднородной анизотропной.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В некоторой области равномерно распределен заряд. В этой области выделена кубическая поверхность и сферическая поверхность. Причем, куб вписан в сферу (рис.1). Найдите отношение потоков векторов электростатической индукции через заданные поверхности ( $\frac{\Phi_{ES}}{\Phi_{EK}}$ ).

Решение

По теореме Гаусса поток вектора электрической индукции через поверхность сферы равен ( $\Phi_{ES}$ ):

$\Phi_{ES}=Q_s=\rho V_{sh} \qquad (1.1)$

где $Q_s$ – заряд находящийся внутри сферы; $\rho$ – плотность распределения заряда в пространстве; $V_{sh}=\frac{4}{3}\pi R^3$ — объем шара; R – радиус шара.

Поток вектора электростатической индукции через поверхность куба равен:

$\Phi_{EK}=Q_K=\rho V_{K} \qquad (1.2)$

где $V_{K}=a^3$ – объем куба; $a-$ сторона куба.

Для вычисления отношения $\frac{\Phi_{ES}}{\Phi_{EK}}$ надо найти как соотносятся сторона куба и радиус шара. Рассматривая рис.1 и ряд прямоугольных треугольников, применяя теорему Пифагора, получим, что:

$R=\frac{\sqrt{3}}{2}a \qquad (1.3)$

Подставим (1.3) в (1.1), имеем:

$\Phi_{ES}=\rho\frac{4}{3}\pi {(\frac{\sqrt{3}}{2}a\ )}^3=\rho\pi \frac{\sqrt{3}}{2}a^3$

Найдем отношение $\frac{\Phi_{ES}}{\Phi_{EK}}:$

$\frac{\Phi_{ES}}{\Phi_{EK}}=\frac{\rho\pi \frac{\sqrt{3}}{2}a^3}{\rho a^3}=\pi \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ

$\frac{\Phi_{ES}}{\Phi_{EK}}=\pi \frac{\sqrt{3}}{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

С какой силой действует магнитное поле с индукцией 0,2 Тл на протон, который движется в этом поле со скоростью ${10}^6\frac{m}{c}$ перпендикулярно этому полю?

Решение

Если частица, обладающая зарядом (заряд протона равен $q_p=1,6\cdot {10}^{-19}$ Кл), движется в магнитном поле, то на нее действует сила Лоренца ( $F_L$ ), равная по величине:

$F_L=qvB{\sin \alpha} \qquad (2.1)$