Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Идеальный одноатомный газ

Определение идеального одноатомного газа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Идеальный одноатомный газ – это простейшая термодинамическая система. Газ молекулы, которого состоят из одного атома, называют одноатомным.

Количество атомов в молекуле оказывает влияние на то, как распределяется энергия по степеням свободы. Так для одноатомного газа молекула имеет три степени свободы (i=3). Формулу для расчета внутренней энергии идеального одноатомного газа очень просто получить.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа

Учтем, что молекулы идеального газа представлены как материальные точки, которые не взаимодействуют на расстоянии. Отсутствие сил взаимодействия между молекулами обозначает, что потенциальная энергия взаимодействия молекул постоянна. Суммарная энергия покоя самих молекул также неизменна, так как молекулы при тепловых процессах не изменяются. Следовательно, внутренняя энергия идеального одноатомного газа является суммой кинетических энергий поступательного движения молекул и еще некоторая постоянная.

Обозначим внутреннюю энергию газа как U, тогда сказанное выше запишем как:

    \[U=E_{k1}+E_{k2}+\dots +E_{kN}+const \qquad (1)\]

где E_{k1}+E_{k2}+\dots +E_{kN} – сумма кинетических энергий поступательного движения молекул; N – число молекул в газе. Примем во внимание то, что средняя кинетическая энергия молекулы (\left\langle {\varepsilon}_k\right\rangle) равна:

    \[\left\langle {\varepsilon}_k\right\rangle =\frac{E_{k1}+E_{k2}+\dots +E_{kN}}{N} \qquad (2)\]

По закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы имеем:

    \[\left\langle {\varepsilon}_k\right\rangle =\frac{i}{2}kT \qquad (3)\]

для одноатомного газа:

    \[\left\langle {\varepsilon}_k\right\rangle =\frac{3}{2}kT \qquad (4)\]

k=1,38\cdot {10}^{-23}\frac{J}{K} – постоянная Больцмана; T – температура по шкале Кельвина.

Внутреннюю энергию одноатомного идеального газа можно записать как:

    \[U=N\left\langle {\varepsilon}_k\right\rangle +const=N\frac{3}{2}kT+const \qquad (5)\]

Обычно постоянную величину в выражении (5) опускают, так как в расчётах она роли не играет.

Выражение (5) говорит о том, что внутренняя энергия идеального газа определена его температурой. Она является функцией состояния и не зависит от процесса который провели для того чтобы газ пришел в состояние с этой температурой. При этом изменение внутренней энергии идеального газа определено только его начальным и конечным состояниями, и не связано с характером процесса.

Выражение (5) часто используют в виде:

    \[U=\frac{3}{2}\frac{m}{\mu}RT=\frac{3}{2}\nu RT \qquad (6)\]

где m – масса газа; \mu – молярная масса газа; R=8,31\ \frac{J}{mol\cdot K} – универсальная газовая постоянная; \nu – количество вещества.

Теплоемкость одноатомного идеального газа

Для изохорного процесса, проводимого в идеальном газе работа равна нулю (A), поэтому первое начало термодинамики:

    \[\Delta Q=\Delta U+A \qquad (7)\]

запишем как:

    \[\Delta Q_V=\Delta U \qquad (8)\]

где \Delta Q_V=C_V\Delta T;\ C_V – теплоемкость газа при постоянном объеме. Используя выражения (8) и (6) получим:

    \[C_V\Delta T=\frac{3}{2}\nu R\Delta T\to \ C_V=\frac{3}{2}\nu R \qquad (9)\]

Используя формулу (10) можно вычислить молярную теплоемкость любого одноатомного газа при постоянном объеме:

    \[c_{\mu V}=\frac{3}{2}R \qquad(10)\]

Молярная теплоемкость одноатомного газа при изобарном процессе (c_{\mu p}) связана с c_{\mu V} соотношением Майера:

    \[c_{\mu p}=c_{\mu V}+R=\frac{5}{2}R \qquad(11)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Получите формулу для вычисления молярной теплоемкости (c_{\mu}) одноатомного идеального газа (i=3) для процесса, в котором масса газа остается постоянной, закон изменения процесса задан выражением: T^2V=const.
Решение Первое начало термодинамики запишем в дифференциальной форме:

    \[\delta Q=\frac{3}{2}\nu RdT+pdV \qquad (1.1)\]

где \delta Q=\nu c_{\mu}dT.

    \[\nu c_{\mu}dT=\frac{3}{2}\nu RdT+pdV\to \ c_{\mu}=\frac{3R}{2}+\frac{pdV}{\nu dT} \qquad (1.2)\]

Из уравнения процесса: T^2V=const найдем \frac{dV}{dT}:

    \[\frac{dV}{dT}=-\frac{2\cdot const}{T^3} \qquad (1.3)\]

Из уравнения состояния идеального газа, имеем:

    \[pV=\nu RT\to p=\frac{\nu RT}{V} \qquad (1.4)\]

Используя выражения (1.3) и (1.4) и уравнение процесса преобразуем выражение (1.2) к виду:

    \[c_{\mu}=\frac{3R}{2}-\frac{\nu RT\cdot 2\cdot const}{\nu T^3V}=\frac{3R}{2}-\frac{R\cdot 2\cdot const}{T^2V}=\frac{3R}{2}-\frac{R\cdot 2\cdot const}{const}=-0,5R\]

Ответ c_{\mu}=-0,5R
ПРИМЕР 2
Задание Процессы в идеальном одноатомном газе представляют графики (рис.1). Кривая МА – изотерма. Как изменяется приращение внутренней энергии этого газа, если перейти от кривой МА к кривой МВ?
Идеальный одноатомный газ, пример 1
Решение Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии определяется как:

    \[\Delta U=U_2-U_1=\frac{3\nu R}{2}\left(T_2-T_1\right) \qquad (2.1)\]

Процесс МА является по условию изотермическим, следовательно, \Delta U_{MA}=0, так как в изотермическом процессе температура не изменяется.

Как мы видим из рис.1 оба процесса начинаются в одной точке, следовательно, характеризуются одинаковыми параметрами, это означает, что начальные температуры в процессах МА и МВ равны. Посмотрим, что происходит с температурой в процессе МВ.

Температуры в точках М и А равны исходя из процесса (T_M=T_A). Сравнив температуры T_A и T_B мы определим, увеличивается ли температура в процессе MB. Для этого рассмотрим изохору V_2. Изохорный процесс подчиняется закону Шарля:

    \[\frac{p_A}{p_B}=\frac{T_A}{T_B} \qquad (2.2)\]

Из рис.1 следует, что p_A>p_B, значит T_A>T_B, получается, что температура процессе MB уменьшается. Следовательно, в процессе MB уменьшается внутренняя энергия идеального газа.

Ответ В процессе МА внутренняя энергия не изменяется, в процессе МВ внутренняя энергия уменьшается, изменении внутренней энергии отрицательная величина отличная от нуля.
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.