Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Гидродинамика

Общие понятия гидродинамики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гидродинамика относится к физике сплошной среды, она исследует законы движения и равновесия жидкости и газа.

Описывает взаимодействие жидкости (реального газа) с движущимися и неподвижными поверхностями.

Перемещение жидкости принципиально отличается от движения твердых тел. В своем движении жидкость не может сохранять неизменным расстояние между ее частицами. Если рассматривать движение элементарного объема жидкости, то его можно представить как сумму трех движений: поступательного и вращательного перемещения всего объема жидкости как целого, и движение разных частиц рассматриваемого объема по отношению друг к другу. При движении жидкости следует учитывать массовые силы и силы трения (вязкость).

Задачи гидродинамики

Жидкость, находящаяся в движении обычно характеризуется при помощи двух параметров: скорости течения (\overline{v}) и гидродинамического давления (p). Следовательно, к основным задачам гидродинамики относят определения этих параметров при известной системе действующих внешних сил.

В процессе движения жидкости \overline{v} и p способны изменяться в зависимости от времени и точки в пространстве. При этом выделяют два типа движения жидкости установившееся и неустановившееся.

Движение, при котором \overline{v} и p являются постоянными во времени для любой точки жидкости в пространстве и являются функция координат, называют установившимся. При неустановившемся течении скорость и давление являются функциями и от времени и от координат.

В гидродинамике используют понятие жидкой частицы. Это условно выделяемый элементарный объем жидкости, изменением формы которого можно пренебречь. Частица жидкости при своем движении описывает кривую, которая носит название траектории движения.

Потоком жидкости считают перемещающуюся массу жидкости, которая полностью или частично ограничена поверхностями. Эти поверхности могут образовываться самой жидкостью на фазовой границе или быть твердыми. Границы потоков – это стенки трубы, канала, поверхность, которую жидкость обтекает, открытая поверхность жидкости.

Небольшая сжимаемость жидкости позволяет во многих случаях полностью пренебречь изменением ее объема. Тогда говорят о несжимаемой жидкости. Это идеализация, которую часто используют. Говорят, что несжимаемая жидкость – предельный случай сжимаемой жидкости, когда для получения бесконечно больших давлений, достаточно бесконечно малых сжатий.

Жидкость, в которой при любом ее движении не возникают силы внутреннего трения, называют идеальной. Иначе говоря, в идеальной жидкости существуют только силы нормального давления, которые однозначно определяются степенью сжатия и температурой жидкости. Модель идеальной жидкости используют тогда, когда скорости изменения деформаций в жидкости малы.

Физическая величина, которая определяется нормальной силой, с которой жидкость действует на единицу площади поверхности, называют давлением (p):

    \[p=\frac{F}{S}\  \qquad (1)\]

Давление при равновесии жидкости подчиняется закону Паскаля:

Давление в любой точке покоящейся жидкости одинаково во всех направлениях. Давление одинаково передается во всем объеме, которое жидкость занимает.

Сила давления на нижние слои жидкости больше, чем на верхние. Вследствие этого на тело, погруженное в жидкость (газ) действует выталкивающая сила, называемая силой Архимеда (F_A):

    \[F_A=\rho Vg\  \qquad (2)\]

где \rho – плотность жидкости; V – объем тела, погруженного в жидкость.

В состоянии равновесия жидкости (газа) давление (p) меняется в зависимости от плотности (\rho ) и температуры (T) и однозначно определено ими. Соотношение:

    \[p=f(\rho ,T) \qquad (3)\]

в состоянии равновесия называют уравнением состояния.

Основные уравнения равновесия и движения жидкостей

Силы, действующие в жидкости, обычно разделяют на массовые (объемные) и поверхностные. Примером массовых сил может служить сила тяжести. Обозначим \overline{f} – объемную плотность массовых сил. Поверхностные силы – это силы, которые действуют на каждый объем жидкости, благодаря нормальным и касательным напряжениям, действующим на его поверхности со стороны соседних частей жидкости.

Основным уравнением гидростатики является выражение:

    \[grad\ p=\overline{f}\  \qquad (4)\]

Уравнение (4) показывает, что при равновесии жидкости плотность силы, действующая на единицу объема жидкости (\overline{f}) есть градиент скалярной функции. Это необходимое и достаточное условие консервативности плотности силы \overline{f}. Получается, что для равновесия жидкости надо, чтобы поле сил, в котором находится жидкость, было консервативным. В неконсервативных силовых полях равновесие не возможно.

В координатной форме формулу (4) запишем как:

    \[\frac{\partial p}{\partial x}=f_x,\ \frac{\partial p}{\partial y}=f_y,\ \frac{\partial p}{\partial z}=f_z \qquad (5)\]

Основным уравнением гидродинамики идеальной жидкости является выражение:

    \[\rho \frac{d\overline{v}}{dt}=\overline{f}-grad\ p\  \qquad (6)\]

где \frac{d\overline{v}}{dt} ускорение жидкости в рассматриваемой точке. Уравнение (6) называется уравнением Эйлера.

Уравнением Бернулли получено швейцарским физиком Д. Бернулли в 1738 г. Это выражение закона сохранения энергии относительно установившегося течения идеальной жидкости:

    \[\frac{\rho v^2}{2}+\rho gh+p=const\  \qquad (7)\]

где p – статическое давление – давление жидкости на поверхности тела, которое она обтекает; \frac{\rho v^2}{2}— динамическое давление; \rho gh — гидростатическое давление; h — высота столба жидкости.

Графически движение жидкости изображают при помощи линий тока. Их проводят так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости в соответствующих точках пространства. Жидкость, ограниченную линиями тока называют трубкой тока. При стационарном течении жидкости форма и расположение линий тока не изменяется.

Движение несжимаемой жидкости подчиняется уравнению неразрывности, которое записывают как:

    \[S_1v_1=S_2v_2=const\  \qquad (8)\]

S_1 и S_2 – сечения трубки тока.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Запишите уравнение равновесия жидкости в случаях: а) когда массовых сил нет; б) жидкость находится в поле тяжести. Поясните, что следует из записанных уравнений?
Решение а) Если массовые силы равны нулю (\overline{f}=0), то уравнение гидростатики запишем как:

    \[\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y}=\ \frac{\partial p}{\partial z}=0\qquad (1.1)\]

Следовательно, при равновесии давление одинаково по всему объему жидкости.

б) Если жидкость находится в поле тяжести, то \overline{f}=\rho \overline{g}. Направим ось Z вертикально вверх. Тогда основные уравнения равновесия можно записать как:

    \[\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y}=0; \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g\  \qquad (1.2)\]

Из уравнений (1.2) следует, что при механическом равновесии давление не зависит от координат x, y. Оно остается постоянным в любой горизонтальной плоскости z=const. Горизонтальные плоскости являются плоскостями равного давления. Так, свободная поверхность жидкости является горизонтальной, так как она находится под постоянным атмосферным давлением. Из третьего уравнения системы (1.2) следует, что для механического равновесия надо, чтобы \rho g являлось функцией только от z. Если зависимостью ускорения свободного падения от широты и долготы пренебречь, то плотность изменяется только в зависимости от высоты. А из уравнения состояния:

    \[p=f(\rho ,T)(1.3)\]

следует, что при механическом равновесии давление, температура и плотность жидкости зависят только от z и не могу зависеть от x,y.

Пусть жидкость однородна и несжимаема, что означает:

    \[\rho =const\  \qquad (4)\]

Кроме того будем считать, что g=const, тогда проинтегрировав уравнение \frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g, имеем:

    \[p=p_0-\rho gz\  \qquad (5)\]

где p_0 – давление жидкости на высоте z=0. Формула (5) определяет давление жидкости на дно и стенки сосуда, на поверхность тела погруженного в жидкость.

ПРИМЕР 2
Задание Считая жидкость идеальной, определите, какова скорость течения жидкости из маленького отверстия, сделанного в стенке сосуда, если высота уровня жидкости над ним составляет h?
Решение Сделаем рисунок.
Гидродинамика, пример 1

В качестве основы для решения задачи используем уравнение Бернулли, которое запишем в виде:

    \[\frac{\rho {v_1}^2}{2}+\rho gh_1+p=\frac{\rho {v_2}^2}{2}+\rho gh_2+p\to \frac{\rho {v_1}^2}{2}+\rho gh_1=\frac{\rho {v_2}^2}{2}+\rho gh_2\  \qquad (2.1)\]

Запишем уравнение неразрывности:

    \[S_1v_1=S_2v_2\ \left(S_1\gg S_2\right)\to v_1\ll v_2\to \frac{\rho {v_1}^2}{2}\ll \frac{\rho {v_2}^2}{2} \qquad (2.2)\]

Принимая во внимание последнее неравенство в (2.2) уравнение Бернулли (2.1) представим в виде:

    \[\rho gh_1=\frac{\rho {v_2}^2}{2}+\rho gh_2 \qquad (2.3)\]

Из формулы (2.3) выразим искомую скорость:

    \[v^2_2=2gh\ \to v_2=\sqrt{2gh}\]

Ответ v_2=\sqrt{2gh}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.