Физический смысл момента инерции

Определение и смысл момента инерции

Пусть материальная точка вращается по окружности вокруг неподвижной оси, которая проходит через центр траектории данной точки. Момент ее импульса (L) относительно этой оси будет равен:

$L=mvr \qquad (1)$

где m – масса этой точки; v – скорость движения точки; r – радиус окружности, по которой точка движется. Если угловую скорость точки обозначить как $\omega ,$ и принять равной:

$\omega =\frac{v}{r} \qquad (2)$

тогда величину момента импульса можно определить как:

$L=m\omega r^2 \qquad (3)$

Если представить, что вокруг рассматриваемой оси вращается несколько материальных точек с одинаковой угловой скоростью, то L будет равен:

$L=\sum^N_{i=1}{m_ir^2}\omega \qquad (4)$

В выражении (4) суммирование происходит по всем материальным точка, входящим в систему. Так как $\omega$ – величина постоянная, то ее можно вынести за знак суммы, тогда имеем:

$L=I\omega \qquad (5)$

Где $I=\sum^N_{i=1}{m_ir^2}$ – величина, равная сумме произведений масс материальных точек на расстояния в квадрате от каждой из них до оси вращения, называют моментом инерции рассматриваемой системы по отношению к оси.

Уравнение (5) отражает тот факт, что момент импульса системы при ее вращении относительно оси равен произведению момента инерции на угловую скорость. Если кроме вращения материальных точек имеется их движения по радиусам, то выражение (5) останется справедливым. Это следствие линейной зависимости момента импульса точки (L) от скорости ее движения (v). Если вектор скорости направлен по радиусу или параллельно оси вращения, то момент импульса относительно этой оси равен нулю. Вследствие чего данные виды движения не оказывают непосредственного влияния на вид связи между моментом импульса системы относительно оси вращения и угловой скоростью. Такое влияние проявляется косвенно. Момент инерции перестает быть постоянной величиной и изменяется во времени, в зависимости от конфигурации системы. Уравнение движения для такой системы имеет вид:

$\frac{d}{dt}(J\overrightarrow{\omega})=\overrightarrow{M} \qquad (6)$

где $\overrightarrow{M}$ – момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения. Уравнение (6) называют основным уравнением динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Проведем аналогию между ним и уравнением Ньютона для поступательного движения материальной точки:

$\frac{d(m\overrightarrow{v})}{dt}=\overrightarrow{F} \qquad (7)$

Роль массы в уравнении (6) играет момент инерции J, роль скорости угловая скорость, роль силы – момент силы.

Получается, что момент инерции тела относительно оси вращения выступает мерой инертности тела по отношению к вращению, так же как масса является мерой инертности в поступательном движении.

Аналогию между поступательным движением материальной точки и вращением твердого тела можно продолжить, при рассмотрении кинетической энергии твердого тела.

$E_k=\frac{J{\omega}^2}{2}=\frac{L^2}{2J} \qquad (8)$

Где $E_k$ – кинетическая энергия твердого тела, вращающегося около неподвижной оси. Данное выражение напоминает формулу для расчета кинетической энергии при поступательном движении материальной точки.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Каковы кинетическая энергия поступательного движения ( $E_{k1}$ ), и вращения ( $E_{k2}$ ) для диска, который катится по горизонтальной поверхности, если полная кинетическая энергия при этом составляет $E_k$ ?

Решение

Сделаем рисунок.

Физический смысл момента инерции, пример 1

Диск совершает два вида движения: поступательное перемещение по горизонтали с некоторой скоростью $\overrightarrow{v}$ и вращение вокруг своей оси с некоторой угловой скоростью $\omega$ . Полная кинетическая энергия диска при этом будет равна:

$E_k=E_{k1}+E_{k2} \qquad (1.1)$

Кинетическую энергию поступательного движения найдем как $E_{k1}$ :

$E_{k1}=\frac{mv^2}{2} \qquad (1.2)$

Кинетическая энергия вращения $E_{k2}$ :

$E_{k2}=\frac{J{\omega}^2}{2} \qquad (1.2)$

где угловую скорость свяжем со скоростью v, как:

$\omega =\frac{v}{R} \qquad (1.3)$

где R – радиус диска, момент инерции диска при вращении его вокруг своей оси, перпендикулярной его плоскости равен:

$J=\frac{mR^2}{2} \qquad (1.4)$

Подставим выражения (1.2) – (1.4) в формулу (1.1), имеем:

$E_k=\frac{mv^2}{2}+\frac{mR^2}{4}{\left(\frac{v}{R}\right)}^2=\frac{3mv^2}{4}\to \frac{mv^2}{2}=\frac{2E_{k}}{3} \qquad (1.5)$

Имеем из (1.5), что кинетическая энергия поступательного перемещения равна:

$E_{k1}=\frac{2E_{k}}{3} \qquad (1.6)$

Следовательно:

$E_{k2}=E_k-E_{k1}=E_k-\frac{2E_{k}}{3}=\frac{E_{k}}{3}$

Ответ

$E_{k1}=\frac{2E_{k}}{3};\ E_{k2}=\frac{E_{k}}{3}$

ПРИМЕР 2

Задание

Маленький шарик, подвешенный на нити, вращается в горизонтальной плоскости. Каково отношение моментов инерции шарика относительно оси ( $\frac{J_1}{J_2}$ ), которая проходит через центр его круговой траектории и точку подвеса, при углах отклонения нити ${\alpha}_1=60^\circ , {\alpha}_2=30^\circ$ ?

Решение

Сделаем рисунок.

Физический смысл момента инерции, пример 2

Момент инерции материальной точки относительно оси $OO'$ равен:

$J=mr^2 \qquad (2.1)$

Из рис. 2 следует, что:

$r=h\ \text{tg}\ \alpha \qquad (2.2)$

При изменении угла $\alpha$ изменяется r, но не изменяется h, для разных углов имеем:

$r_1=h\ \text{tg}\ {\alpha}_1;\ r_2=h\ \text{tg}\ {\alpha}_2 \qquad (2.3)$

Найдем отношение моментов инерции $\frac{J_1}{J_2}$ :

$\frac{J_1}{J_2}=\frac{m{\left(h\ \text{tg}\ \alpha_1\right)}^2}{m{\left(h\ \text{tg}\ \alpha_2\right)}^2}=\frac{{\text{tg}}^2{\alpha}_1}{{\text{tg}}^2{\alpha}_2}=\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}{{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=9$

Ответ

$\frac{J_1}{J_2}=9$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Физический смысл момента инерции

Определение и смысл момента инерции

Примеры решения задач