Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифракция рентгеновских лучей

Определение и общие понятия дифракции рентгеновских лучей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифракцией рентгеновских лучей называют явление рассеяния этих лучей при помощи кристаллов или молекул газов и жидкостей, при котором появляются вторичные отклоненные пучки, имеющие равные с первоначальным длины волн.

Вторичные пучки возникают в результате взаимодействия рентгеновских лучей с электронами среды. Строение рассеивающего объекта определяет направления и интенсивности полученных пучков. Пучки, полученные в результате дифракции, являются частью всего рентгеновского излучения, которое рассеяло вещество.

Впервые дифракцию рентгеновских лучей наблюдали в 1913 г. Лауэр, Фридрих и Книппинг. Они рассматривали дифракцию рентгеновских лучей на кристаллах. В кристаллах выполняется условие, при котором период дифракционной решетки больше длины рентгеновского излучения.

Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов используется для изучения состава спектра рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия) и при исследовании кристаллических структур (рентгеноструктурный анализ).

Находя направления максимумов, которые получаются при дифракции рассматриваемого рентгеновского излучения от кристаллов, структура которых известна, находя длины волн. Проще всего для нахождения длин волн использовать кристаллы кубической системы. Межплоскостные расстояния при этом находят из плотности и относительной молекулярной массы кристалла.

Формула Вульфа – Брэгга

Ю.В. Вульф, У.Г. Брэгг и У.Л. Брэгг показали, что расчет картины дифракции от кристаллической решетки можно реализовать следующим способом. Провести через узлы кристаллической решетки параллельные равноотстоящие плоскости (их еще называют атомными слоями). Если падающая на кристалл волна является плоской, то огибающая вторичных волн, порождаемых атомами в атомном слое, является плоскостью. Результирующее действие атомов, которые находятся в одном слое — это плоская волна. Она отразилась от поверхности, которая усеяна атомами, в соответствии с законом отражения.

Плоские вторичные волны, отражающиеся от разных атомных слоев, будут когерентными и способны интерферировать, как волны, которые посылали бы в данном направлении щели дифракционной решетки. Вторичные волны будут практически полностью гасить друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода соседних волн кратна длине волны (\lambda). Направления, в которых возникают максимумы дифракции, определяет формула Вульфа – Брэгга:

    \[2d{\sin \theta =\pm m\lambda \ \left(m=1,2,\dots \right)} \qquad (1)\]

где d – период идентичности кристалла в направлении перпендикулярном рассматриваемым слоям; \theta — угол дополнительный к углу падения (угол скольжения) падающих лучей.

Атомные слои в кристалле можно провести множеством способов. Любая система слоев даст максимум дифракции, если для нее выполнено условие (1). Но следует отметить, что существенную интенсивность дают только максимумы, которые получены за счет отражений от слоев, густо заполненных атомами.

Формулы Лауэ

В направлениях, которые удовлетворяют одновременно условиям:

    \[\left\{ \begin{array}{c} d_1\left({\cos \alpha -{\cos {\alpha}_0}}\right)=\pm m_1\lambda , \\  d_2\left({\cos \beta -{\cos {\beta}_0}}\right)=\pm m_2\lambda \\  d_3\left({\cos \gamma -{\cos {\gamma}_0}}\right)=\pm m_3\lambda \end{array} \ \left(m_i=0,1,2,\dots \right) \qquad (2)\]

где d_1 – период структуры по оси X; \alpha – угол между направлением, вдоль которого получаются максимумы дифракции и осью X; {\alpha}_0 – угол между направлением распространения падающего пучка параллельных лучей и осью X.

d_2 – период структуры по оси Y; \beta – угол между направлением, вдоль которого получаются максимумы дифракции и осью Y; {\beta}_0 – угол между направлением распространения падающего пучка параллельных лучей и осью Y.

d_3 – период структуры по оси Z; \gamma – угол между направлением, вдоль которого получаются максимумы дифракции и осью Z; {\gamma}_0 – угол между направлением распространения падающего пучка параллельных лучей и осью Z. Каждому направлению (\alpha ,\beta ,\gamma), которое определено выражениями (2) соответствуют три целых числа m_1,\ m_2,\ m_3. Условия (2) выполняются при неравных нулю величинах m, только если \lambda \le 2d.

В прямоугольной системе координат углы \alpha ,\beta ,\gamma связывает соотношение:

    \[{\cos}^2\left(\alpha \right)+{\cos}^2\left(\beta \right)+{\cos}^2\left(\gamma \right)=1 \qquad (3)\]

Если известны {\alpha}_0,\ \beta_0,\ \gamma_0, \lambda, то углы \alpha,\ \beta,\ \gamma, которые определяют направления максимумов, можно найти решая систему из четырех уравнений. Система уравнений (2), (3) имеет решение только для некоторых длин волн \lambda. Каждой величине длины волны соответствует только один максимум. Но может получиться и несколько симметричных максимумов.

Расчет по формулам Лауэ и Вульфа – Брэгга дают одинаковые результаты.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Узкий параллельный пучок рентгеновского излучения, имеющего одну длину волны, падает на грань кристалла. Расстояние между атомными слоями равно d. Какова длина волны излучения, если под углом \theta к плоскости грани наблюдают дифракционный максимум первого порядка?
Решение Сделаем рисунок.
Дифракция рентгеновских лучей, пример 1

Из рис.1 видно, что разность хода двух волн, которые отражаются от соседних атомных слоев, равна:

    \[\triangle =2d{\sin \theta} \qquad (1.1)\]

Тогда направления, в которых получаются максимумы дифракции:

    \[\triangle =2d{\sin \theta =\pm m\lambda} \qquad (1.2)\]

где m=1. Выразим длину волны:

    \[\lambda =2d{\sin \theta .}\]

Ответ \lambda =2d{\sin \theta}
ПРИМЕР 2
Задание Узкий пучок рентгеновского излучения, имеющий длину волны \lambda, падает под некоторым углом на естественную грань кристалла NaCl, его молярная масса равна \mu, плотность \rho. Каков угол скольжения, если при зеркальном отражении от данной грани наблюдают максимум второго порядка?<
Решение В качестве основы для решения задачи используем формулу Вульфа – Брэгга в виде:

    \[2d{\sin \theta =m\lambda} \qquad (2.1)\]

Ячейка кристалла хлорида натрия имеет четыре иона натрия (4{Na}^+) и четыре иона хлора (4{Cl}^-). Каждый ион входит в восемь ячеек. Количество ячеек равно количеству ионов. В 1 моль будет 2N_A ячеек. (N_A – число Авогадро). При этом:

    \[d=\sqrt[3]{V} \qquad (2.2)\]

Объем найдем как:

    \[V=\frac{V_m}{2N_A} \qquad (2.3)\]

где V_m=\frac{\mu}{\rho}. Подставляя имеющиеся выражения в (2.2), получаем:

    \[d=\sqrt[3]{\frac{\mu}{2\rho N_A}} \qquad (2.4)\]

Из формулы (2.1) выражаем угол скольжения, подставляем d из (2.4), имеем:

    \[{\sin \theta =\frac{m\lambda}{2d}}\to {\sin \theta =\frac{2\lambda}{2d}=\frac{\lambda}{d}=\frac{\lambda}{\sqrt[3]{\frac{\mu}{2\rho N_A}}}.}\]

Ответ \theta ={\arcsin (\frac{\lambda}{\sqrt[3]{\frac{\mu}{2\rho N_A}}})}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.