Давление идеального газа
Общие понятия о давлении идеального газа
Молекулы в идеальном газе совершают движения, при этом они ударяются о стенки сосуда, в котором газ находится, создавая этим давление газа на стенки. Это давление (p) легко вычисляется исходя из представлений молекулярно-кинетической теории (МКТ). Для облегчения данной задачи вводят следующие упрощения:
- Так как давление газа не зависит от формы сосуда, в котором этот газ находится, поэтому будем считать, что сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда, стороны которого .
- Пусть сталкивающиеся со стенкой молекулы газа испытывают зеркальное отражение от нее, без изменения величины скорости, взаимодействуют со стеной по закону абсолютно упругого удара.
- Все направления движения молекул следует считать равновероятными, если газ находится в равновесии. Для упрощения считаем, что молекулы движутся только в трех взаимно перпендикулярных направлениях, которые совпадают с ребрами параллелепипеда. Тогда, если в сосуде находится N молекул, то в каждом направлении движется молекул (вдоль одного ребра ).
Вычисление давления идеального газа
Выделим на стенке сосуда маленькую площадку , определим каково давление, которое газ оказывает на нее.
При соударении молекула, которая движется по нормали к площадке, передает ей импульс равный:
где – масса молекулы, v – скорость молекулы. За время равное выделенной площадки достигают только те молекулы, которые находятся в объеме цилиндра основание которого равно , а высота: . Количество таких молекул равно , где n – число молекул в единице объема газа. На самом деле молекулы движутся к выделенной площади под разными углами и имеют разные скорости, и скорость молекулы при каждом соударении со стенкой изменяется. Тогда принимая во внимание пункт 3 сделанных нами допусков имеем, что число ударов молекул о площадку будет равно: . Импульс, который получает стенка при ударах этого числа молекул, равен:
В таком случае давление газа на стенку получается равно:
Определим среднеквадратичную скорость (), которая характеризует всю совокупность молекул газа, как:
где N – число молекул в объема газа равном V. Тогда давление идеального газа равно:
Уравнение (5) называют основным уравнением МКТ. Приведенный вывод формулы (5) является очень приблизительным, но точный расчет давления с учетом движения молекул по всем направлениям даст такую же формулу.
Основное уравнение МКТ часто записывают в виде:
где – средняя кинетическая энергия поступательного перемещения молекул газа.
Давление идеального газа можно вычислить, применяя уравнения состояния:
где T – температура газа по абсолютной шкале температур (в К).
или уравнение состояния, называемое уравнением Менделеева — Клапейрона
где – молярная масса газа; R- универсальная газовая постоянная.
Примеры решения задач
Задание | Плотность азота равна , среднеквадратичная скорость его молекул составляет . Каково давление газа? |
Решение | За основу решения задачи примем основное уравнение МКТ:
Массу одной молекулы газа можно вычислить, применяя известное соотношение:
где m – масса газа; – молярная масса газа; N – число молекул газа в данной массе m; – число Авогадро. Если мы хотим вычислить массу одной молекулы, то положим , из (1.2) имеем:
Концентрацию молекул получим из формулы (1.2), для этого разделим обе части равенства на объем газа (V), получим:
Подставим выражения (1.3) и (1.4) в основное уравнение МКТ:
Вычислим давление газа:
|
Ответ | Па |
Задание | Как изменяется скорость движения молекул газа в процессе, который изображен на графике (рис.1)?
|
Решение | Из графика рис.1 мы видим, что давление прямо пропорционально плотности газа ().
Из основного уравнения МКТ:
в первом примере мы получили выражение, связывающее плотность идеального газа и давление:
В уравнении (2.2) мы видим, что если давление линейно зависит от плотности, то скорость будет постоянна. |
Ответ |