Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Давление идеального газа

Общие понятия о давлении идеального газа

Молекулы в идеальном газе совершают движения, при этом они ударяются о стенки сосуда, в котором газ находится, создавая этим давление газа на стенки. Это давление (p) легко вычисляется исходя из представлений молекулярно-кинетической теории (МКТ). Для облегчения данной задачи вводят следующие упрощения:

  1. Так как давление газа не зависит от формы сосуда, в котором этот газ находится, поэтому будем считать, что сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда, стороны которого a,b,c.
  2. Пусть сталкивающиеся со стенкой молекулы газа испытывают зеркальное отражение от нее, без изменения величины скорости, взаимодействуют со стеной по закону абсолютно упругого удара.
  3. Все направления движения молекул следует считать равновероятными, если газ находится в равновесии. Для упрощения считаем, что молекулы движутся только в трех взаимно перпендикулярных направлениях, которые совпадают с ребрами параллелепипеда. Тогда, если в сосуде находится N молекул, то в каждом направлении движется \frac{N}{6} молекул (вдоль одного ребра \frac{N}{3}).

Вычисление давления идеального газа

Выделим на стенке сосуда маленькую площадку \Delta S, определим каково давление, которое газ оказывает на нее.

При соударении молекула, которая движется по нормали к площадке, передает ей импульс равный:

    \[\Delta p=m_0v-\left(-m_0v\right)=2m_0v \qquad (1)\]

где m_0 – масса молекулы, v – скорость молекулы. За время равное \Delta t выделенной площадки достигают только те молекулы, которые находятся в объеме цилиндра основание которого равно \Delta S, а высота: v\Delta t. Количество таких молекул равно n\Delta Sv\Delta t, где n – число молекул в единице объема газа. На самом деле молекулы движутся к выделенной площади под разными углами и имеют разные скорости, и скорость молекулы при каждом соударении со стенкой изменяется. Тогда принимая во внимание пункт 3 сделанных нами допусков имеем, что число ударов молекул о площадку \Delta S будет равно: \frac{1}{6}n\Delta Sv\Delta t. Импульс, который получает стенка при ударах этого числа молекул, равен:

    \[\Delta p=2m_0v\frac{1}{6}n\Delta Sv\Delta t=\frac{1}{3}nm_0v^2\Delta S\Delta t \qquad (2)\]

В таком случае давление газа на стенку получается равно:

    \[p=\frac{\Delta p}{\Delta t\Delta S}=\frac{1}{3}nm_0v^2 \qquad (3)\]

Определим среднеквадратичную скорость (\left\langle v_{kv}\right\rangle), которая характеризует всю совокупность молекул газа, как:

    \[\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}{v^2_i}} \qquad (4)\]

где N – число молекул в объема газа равном V. Тогда давление идеального газа равно:

    \[p=\frac{1}{3}nm_0{\left\langle v_{kv}\right\rangle}^2 \qquad (5)\]

Уравнение (5) называют основным уравнением МКТ. Приведенный вывод формулы (5) является очень приблизительным, но точный расчет давления с учетом движения молекул по всем направлениям даст такую же формулу.

Основное уравнение МКТ часто записывают в виде:

    \[p=\frac{2}{3}n\left\langle E_k\right\rangle \qquad (6)\]

где \left\langle E_k\right\rangle – средняя кинетическая энергия поступательного перемещения молекул газа.

Давление идеального газа можно вычислить, применяя уравнения состояния:

    \[p=nkT \qquad (7)\]

где T – температура газа по абсолютной шкале температур (в К).

или уравнение состояния, называемое уравнением Менделеева — Клапейрона

    \[pV=\frac{m}{\mu}RT \qquad (8)\]

где \mu – молярная масса газа; R- универсальная газовая постоянная.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Плотность азота равна \rho =1,35\ \frac{kg}{m^3}, среднеквадратичная скорость его молекул составляет \left\langle v_{kv}\right\rangle =500\ \frac{m}{c}. Каково давление газа?
Решение За основу решения задачи примем основное уравнение МКТ:

    \[p=\frac{1}{3}nm_0{\left\langle v_{kv}\right\rangle}^2 \qquad (1.1)\]

Массу одной молекулы газа можно вычислить, применяя известное соотношение:

    \[\frac{m}{\mu}=\frac{N}{N_A} \qquad (1.2)\]

где m – масса газа; \mu – молярная масса газа; N – число молекул газа в данной массе m; N_A – число Авогадро. Если мы хотим вычислить массу одной молекулы, то положим N=1, из (1.2) имеем:

    \[\frac{m_0}{\mu}=\frac{1}{N_A}\to m_0=\frac{\mu}{N_A} \qquad (1.3)\]

Концентрацию молекул получим из формулы (1.2), для этого разделим обе части равенства на объем газа (V), получим:

    \[\frac{m}{\mu V}=\frac{N}{N_AV}\to \frac{\rho}{\mu}=\frac{n}{N_A}\to n=\frac{\rho N_A}{\mu} \qquad (1.4)\]

Подставим выражения (1.3) и (1.4) в основное уравнение МКТ:

    \[p=\frac{1}{3}\frac{\rho N_A}{\mu}\frac{\mu}{N_A}{\left\langle v_{kv}\right\rangle}^2=\frac{1}{3}{\rho \left\langle v_{kv}\right\rangle}^2\]

Вычислим давление газа:

    \[p=\frac{1}{3}{\cdot 1,35\ \cdot \left(500\right)}^2=112500\ (Pa)\]

Ответ p=112500 Па
ПРИМЕР 2
Задание Как изменяется скорость движения молекул газа в процессе, который изображен на графике (рис.1)?
Давление идеального газа, пример 1
Решение Из графика рис.1 мы видим, что давление прямо пропорционально плотности газа (p\sim \rho).

Из основного уравнения МКТ:

    \[p=\frac{1}{3}nm_0{\left\langle v_{kv}\right\rangle}^2 \qquad (2.1)\]

в первом примере мы получили выражение, связывающее плотность идеального газа и давление:

    \[p=\frac{1}{3}{\rho \left\langle v_{kv}\right\rangle}^2 \qquad (2.2)\]

В уравнении (2.2) мы видим, что если давление линейно зависит от плотности, то скорость будет постоянна.

Ответ \left\langle v_{kv}\right\rangle =const
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.