Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Системы дифференциальных уравнений

Типы систем дифференциальных уравнений

Имеется два основных типа систем дифференциальных уравнений: линейные однородные и линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Для решения таких систем применяется два основных способа: метод исключения (в ходе решения система сводится к одному дифференциальному уравнению) и метод Эйлера (с помощью характеристического уравнения матрицы этой системы).

Рассмотрим далее линейные однородные системы дифференциальных уравнений (СДУ), которые в общем случае имеют вид

    \[\left\{\begin{array}{l} {\frac{dx}{dt} =a\cdot x\left(t\right)+b\cdot y\left(t\right),} \\ {\frac{dy}{dt} =c\cdot x\left(t\right)+d\cdot y\left(t\right),} \end{array}\right. \]

где a,\; b,\; c,\; d – некоторые действительные числа, x\left(t\right),\; y\left(t\right) – неизвестные искомые функции.

Решением системы дифференциальных уравнений называются такие функции x\left(t\right) и y\left(t\right), которые удовлетворяют всем уравнениям рассматриваемой системы.

Задачей Коши для СДУ называется такая задача, при которой необходимо найти частное решение этой системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений

Указанный метод проиллюстрируем на следующем примере.

ПРИМЕР
Задание Найти решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях x\left(0\right)=3,y\left(0\right)=0.

    \[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{dx}{dt} =-2x+4y,} \\ {\frac{dy}{dt} =-x+3y,} \end{array}\right. \]

Решение Поскольку заданы начальные условия, то дело имеем с задачей Коши. Решим систему методом исключения, то есть сведем систему дифференциальных уравнений к одному уравнению.

Из первого уравнения системы выразим функцию y\left(t\right) через функцию x\left(t\right) и ее производную:

    \[\frac{dx}{dt} =x'\left(t\right)=-2x+4y\Rightarrow 4y=x'+2x\Rightarrow y=\frac{x'+2x}{4} =\frac{x'}{4} +\frac{x}{2} \]

Найдем теперь из последнего соотношения производную функции y\left(t\right):

    \[y'=\left(\frac{x'}{4} +\frac{x}{2} \right)^{{'} } =\frac{x''}{4} +\frac{x'}{2} \]

Подставляя полученные выражения функции y\left(t\right) и ее производной во второе уравнение заданной системы, будем иметь

    \[\frac{x''}{4} +\frac{x'}{2} =-x+3\cdot \left(\frac{x'}{4} +\frac{x}{2} \right)\]

Раскрываем скобки и сводим подобные:

    \[\frac{x''}{4} +\frac{x'}{2} =-x+\frac{3x'}{4} +\frac{3x}{2} \Rightarrow \frac{x''}{4} -\frac{x'}{4} -\frac{x}{2} =0\]

После умножения обеих частей последнего равенства на четыре, окончательно будем иметь:

    \[x''-x'-2x=0\]

Получили однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции x\left(t\right). Найдем его решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:

    \[k^{2} -k-2=0\]

корни которого k_{1} =-1,\; k_{2} =2. Тогда решение

    \[x\left(t\right)=C_{1} e^{k_{1} t} +C_{2} e^{k_{2} t} =C_{1} e^{-t} +C_{2} e^{2t} \]

Для нахождения второй неизвестной функции y\left(t\right) воспользуемся полученным выше соотношением y=\frac{x'}{4} +\frac{x}{2}:

    \[y\left(t\right)=\frac{1}{4} \left(C_{1} e^{-t} +C_{2} e^{2t} \right)^{{'} } +\frac{1}{2} \left(C_{1} e^{-t} +C_{2} e^{2t} \right)=\]

    \[=\frac{1}{4} \left(-C_{1} e^{-t} +2C_{2} e^{2t} \right)+\frac{1}{2} \left(C_{1} e^{-t} +C_{2} e^{2t} \right)=\]

    \[=-\frac{C_{1} e^{-t} }{4} +\frac{C_{2} e^{2t} }{2} +\frac{C_{1} e^{-t} }{2} +\frac{C_{2} e^{2t} }{2} =\frac{C_{1} e^{-t} }{4} +C_{2} e^{2t} \]

Итак, искомое решение системы

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=C_{1} e^{-t} +C_{2} e^{2t} ,} \\ {y\left(t\right)=\frac{C_{1} e^{-t} }{4} +C_{2} e^{2t} .} \end{array}\right. \]

Теперь найдем частное решение заданной системы, которое соответствует начальным условиям x\left(0\right)=3,y\left(0\right)=0. Подставляем соответствующие значения в систему и находим константы C_{1} и C_{2}:

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(0\right)=C_{1} e^{-0} +C_{2} e^{2\cdot 0} ,} \\ {y\left(0\right)=\frac{C_{1} e^{-0} }{4} +C_{2} e^{2\cdot 0} } \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {3=C_{1} +C_{2} ,} \\ {0=\frac{C_{1} }{4} +C_{2} } \end{array}\right. \Rightarrow  \]

    \[ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {3=C_{1} -\frac{C_{1} }{4} ,} \\ {C_{2} =-\frac{C_{1} }{4} } \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {3=\frac{3C_{1} }{4} ,} \\ {C_{2} =-\frac{C_{1} }{4} } \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {C_{1} =4,} \\ {C_{2} =-1.} \end{array}\right. \]

Таким образом, частное решение системы

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=4e^{-t} -e^{2t} ,} \\ {y\left(t\right)=e^{-t} -e^{2t} .} \end{array}\right. \]

Ответ \left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=4e^{-t} -e^{2t} ,} \\ {y\left(t\right)=e^{-t} -e^{2t} .} \end{array}\right.

Рассмотрим теперь линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Такая система имеет следующий вид:

    \[\left\{\begin{array}{l} {\frac{dx}{dt} =a\cdot x\left(t\right)+b\cdot y\left(t\right)+f_{1} \left(t\right),} \\ {\frac{dy}{dt} =c\cdot x\left(t\right)+d\cdot y\left(t\right)+f_{2} \left(t\right),} \end{array}\right. \]

то есть она отличается от однородной системы, описанной выше, лишь добавками-слагаемыми f_{1} \left(t\right) и f_{2} \left(t\right).

Найдем решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений методом исключения.

ПРИМЕР
Задание Найти решение системы линейных дифференциальных уравнений методом исключения.

    \[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{dx}{dt} =2x-5y+3,} \\ {\frac{dy}{dt} =5x-6y+1} \end{array}\right. \]

Решение Из первого уравнения системы выразим функцию y\left(t\right) через вторую функцию x\left(t\right) и ее производную x'\left(t\right):

    \[5y=2x-x'+3\Rightarrow y=\frac{2x-x'+3}{5} \]

Дифференцируем последнее равенство по t:

    \[y'=\left(\frac{2x-x'+3}{5} \right)^{{'} } =\frac{2x'-x''}{5} \]

Полученные выражения для функции y\left(t\right) и ее производной y'\left(t\right) подставляем во второе уравнение системы:

    \[\frac{2x'-x''}{5} =5x-\frac{6\left(2x-x'+3\right)}{5} +1\]

Домножим левую и правую части этого равенства на пять:

    \[2x'-x''=25x-6\left(2x-x'+3\right)+5\]

Упрощаем полученное выражение:

    \[x''-2x'+25x-12x+6x'-18+5=0\Rightarrow x''+4x'+13x=13\]

Итак, получили линейное неоднородное уравнение второго порядка относительно искомой функции x\left(t\right). Решим его.

Вначале найдем решение однородного дифференциального уравнения второго порядка

    \[x''+4x'+13x=0\]

Соответствующее ему характеристическое уравнение

    \[k^{2} +4k+13=0\]

Решим полученное квадратное уравнение:

    \[D=4^{2} -4\cdot 1\cdot 13=16-52=\left(6i\right)^{2} \]

    \[k_{1,2} =\frac{-4\pm 6i}{2} =-2\pm 3i\]

Поскольку корни характеристического уравнения комплексны, то решение однородного дифференциального уравнения запишется в виде:

    \[x_{odn} \left(t\right)=e^{-2t} \left(C_{1} \cos 3t+C_{2} \sin 3t\right)\]

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения x''+4x'+13x=13 ищем по виду правой части в виде

    \[x_{chastn} \left(t\right)=A\]

Подставим это решение в рассматриваемое дифференциальное уравнение, для этого найдем от него первую и вторую производные:

    \[x'_{chastn} =\left(A\right)^{{'} } =0,\; x''_{chastn} =\left(0\right)^{{'} } =0\]

Тогда

    \[0+4\cdot 0+13A=13\Rightarrow A=1\]

то есть x_{chastn} \left(t\right)=1. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения

    \[x\left(t\right)=x_{odn} \left(t\right)+x_{chastn} \left(t\right)=e^{-2t} \left(C_{1} \cos 3t+C_{2} \sin 3t\right)+1\]

Найдем далее функцию y\left(t\right), для этого воспользуемся выше полученным равенством y=\frac{2x-x'+3}{5}. Производная функции x\left(t\right)

    \[x'=\left(C_{1} e^{-2t} \cos 3t+C_{2} e^{-2t} \sin 3t+1\right)^{{'} } =-2C_{1} e^{-2t} \cos 3t-3C_{1} e^{-2t} \sin 3t-2C_{2} e^{-2t} \sin 3t+\]

    \[+3C_{2} e^{-2t} \cos 3t+0=e^{-2t} \left(\left(3C_{2} -2C_{1} \right)\cos 3t-\left(3C_{1} +2C_{2} \right)\sin 3t\right)\]

Тогда

    \[y\left(t\right)=\frac{2\left[e^{-2t} \left(C_{1} \cos 3t+C_{2} \sin 3t\right)+1\right]-e^{-2t} \left(\left(3C_{2} -2C_{1} \right)\cos 3t-\left(3C_{1} +2C_{2} \right)\sin 3t\right)+3}{5} =\]

    \[=\frac{e^{-2t} \left[\left(4C_{1} -3C_{2} \right)\cos 3t+\left(3C_{1} +4C_{2} \right)\sin 3t\right]+2+3}{5} =\]

    \[=e^{-2t} \left(\frac{4C_{1} -3C_{2} }{5} \cos 3t+\frac{3C_{1} +4C_{2} }{5} \sin 3t\right)+1\]

Таким образом, искомое решение

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=e^{-2t} \left(C_{1} \cos 3t+C_{2} \sin 3t\right)+1,} \\ {y\left(t\right)=e^{-2t} \left(\frac{4C_{1} -3C_{2} }{5} \cos 3t+\frac{3C_{1} +4C_{2} }{5} \sin 3t\right)+1} \end{array}\right \]

Ответ \left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=e^{-2t} \left(C_{1} \cos 3t+C_{2} \sin 3t\right)+1,} \\ {y\left(t\right)=e^{-2t} \left(\frac{4C_{1} -3C_{2} }{5} \cos 3t+\frac{3C_{1} +4C_{2} }{5} \sin 3t\right)+1} \end{array}\right

Метод Эйлера (метод характеристического уравнения)

Работу этого метода рассмотрим на примере.

ПРИМЕР
Задание Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения (методом Эйлера).

    \[ \left\{\begin{array}{l} {x'=-x-5y,} \\ {y'=-7x-3y} \end{array}\right.  \]

Решение Составляем матрицу заданной системы (она состоит из коэффициентов при неизвестных функциях в правых частях уравнений системы):

    \[A=\left(\begin{array}{cc} {-1}  \qquad  {-5} \\ {-7}  \qquad  {-3} \end{array}\right)\]

Найдем собственные значения записанной матрицы, для этого составим характеристическое уравнение и определим его корни:

    \[\left|A-\lambda E\right|=0\Rightarrow \left|\left(\begin{array}{cc} {-1}  \qquad  {-5} \\ {-7}  \qquad  {-3} \end{array}\right)-\lambda \cdot \left(\begin{array}{cc} {1}  \qquad  {0} \\ {0}  \qquad  {1} \end{array}\right)\right|=\left|\begin{array}{cc} {-1-\lambda }  \qquad  {-5} \\ {-7}  \qquad  {-3-\lambda } \end{array}\right|=\]

    \[=\left|\begin{array}{cc} {-1-\lambda }  \qquad  {-5} \\ {-7}  \qquad  {-3-\lambda } \end{array}\right|=\left(-1-\lambda \right)\left(-3-\lambda \right)-\left(-7\right)\cdot \left(-5\right)=\lambda ^{2} +4\lambda -32=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {\lambda _{1} =-8,} \\ {\lambda _{2} =4.} \end{array}\right. \]

Найдем теперь собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям:

1) \lambda _{1} =-8, тогда для определения координат собственного вектора запишем систему \left(A-\lambda _{1} E\right)\bar{x}_{1} =\bar{0}:

    \[\left\{\begin{array}{l} {7x_{1} -5x_{2} =0,} \\ {-7x_{1} +5x_{2} =0.} \end{array}\right. \]

Данная система эквивалентна уравнению 7x_{1} -5x_{2} =0\Rightarrow x_{1} =\frac{5x_{2} }{7}. При x_{2} =7 получаем, что x_{1} =5. Тогда первый собственный вектор \bar{x}_{1} =\left(5;\; 7\right).

2)\ \lambda_{2} =4\Rightarrow \left(A-\lambda_2 E\right)\bar{x}_{2} =\bar{0}\Rightarrow \begin{cases} {-5x_{1} -5x_{2} =0,} \\ {-7x_{1} -7x_{2} =0} \end{cases} \Rightarrow

\Rightarrow x_1 +x_2 =0, \Rightarrow x_1 =-x_2.

Для x_{2} =1 получаем, второй собственный вектор \bar{x}_{2} =\left(-1;\; 1\right).

Тогда общее решение исконной системы дифференциальных уравнений

\left(\begin{array}{l} {x\left(t\right)} \\ {y\left(t\right)} \end{array}\right)=C_{1} e^{\lambda _{1} t} \bar{x}_{1} +C_{2} e^{\lambda _{2} t} \bar{x}_{2} =C_{1} \cdot e^{-8t} \cdot \left(\begin{array}{l} {5} \\ {7} \end{array}\right)+C_{2} \cdot e^{4t} \cdot \left(\begin{array}{l} {-1} \\ {1} \end{array}\right)=

=\left(\begin{array}{l} {5C_{1} e^{-8t} } \\ {7C_{1} e^{-8t} } \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} {-C_{2} e^{4t} } \\ {C_{2} e^{4t} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {5C_{1} e^{-8t} -C_{2} e^{4t} } \\ {7C_{1} e^{-8t} +C_{2} e^{4t} } \end{array}\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=5C_{1} e^{-8t} -C_{2} e^{4t} ,} \\ {y\left(t\right)=7C_{1} e^{-8t} +C_{2} e^{4t} .} \end{array}\right.

Ответ \left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=5C_{1} e^{-8t} -C_{2} e^{4t} ,} \\ {y\left(t\right)=7C_{1} e^{-8t} +C_{2} e^{4t} .} \end{array}\right.