Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение систем дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим простейшую систему дифференциальных уравнений вида

    \[\left\{\begin{array}{l} {\frac{dx}{dt} =a_{1} x\left(t\right)+b_{1} y\left(t\right)+c_{1} ,} \\ {\frac{dy}{dt} =a_{2} x\left(t\right)+b_{2} y\left(t\right)+c_{2} .} \end{array}\right. \]

Здесь коэффициенты a_{1} ,\; a_{2} ,\; b_{1} ,\; b_{2} ,\; c_{1} ,\; c_{2} – некоторые действительные числа.

Если коэффициенты c_{1} ,\; c_{2} равны нулю, то система называется однородной.

ЗАМЕЧАНИЕ
Производные \frac{dx}{dt} и \frac{dy}{dt} еще обозначаются как x'\left(t\right) и y'\left(t\right) или \dot{x}\left(t\right) и \dot{y}\left(t\right) соответственно.

Решение систем дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Решением этой системы дифференциальных уравнений называется пара функций x\left(t\right) и y\left(t\right), которые обращают оба уравнения системы в тождества.

Из второго уравнения выразим неизвестную функцию x\left(t\right):

    \[x\left(t\right)=\frac{y'\left(t\right)-b_{2} y\left(t\right)-c_{2} }{a_{2} } \]

Тогда отсюда

    \[x'\left(t\right)=\frac{y''\left(t\right)-b_{2} y'\left(t\right)}{a_{2} } \]

Подставляем полученные выражения в первое уравнение системы, тем самым исключив функцию x\left(t\right):

    \[\frac{y''\left(t\right)-b_{2} y'\left(t\right)}{a_{2} } =a_{1} \cdot \frac{y'\left(t\right)-b_{2} y\left(t\right)-c_{2} }{a_{2} } +b_{1} y\left(t\right)+c_{1} \]

    \[y''\left(t\right)-b_{2} y'\left(t\right)=a_{1} y'\left(t\right)-a_{1} b_{2} y\left(t\right)-a_{1} c_{2} +a_{2} b_{1} y\left(t\right)+a_{2} c_{1} \]

    \[y''\left(t\right)-\left(a_{1} +b_{2} \right)y'\left(t\right)+\left(a_{1} b_{2} -a_{2} b_{1} \right)y\left(t\right)=-a_{1} c_{2} +a_{2} c_{1} \]

В результате пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя его решение – функцию y\left(t\right) – легко находим и вторую неизвестную функцию x\left(t\right).

ПРИМЕР
Задание Найдите решение системы дифференциальных уравнений

    \[ \left\{\begin{array}{l} {x'=x-1,} \\ {y'=x+2y-3} \end{array}\right \]

Решение Выразим из второго уравнения системы функцию x\left(t\right) и ее производную:

    \[x=y'-2y+3;\]

дифференцируем:

    \[x'=\left(y'-2y+3\right)^{{'} } =y''-2y'\]

Подставляем полученные выражения в первое уравнение исходной системы:

    \[y''-2y'=y'-2y+3-1\]

    \[y''-3y'+2y=2\]

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем его решение.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение

    \[y''-3y'+2y=0\]

Его характеристическое

    \[k^{2} -3k+2=0\]

корни которого

    \[k_{1} =2,\; k_{2} =1\]

Поскольку корни различны и действительны, то решение однородного уравнения

    \[y_{odn} \left(t\right)=C_{1} e^{k_{1} \cdot t} +C_{2} e^{k_{2} \cdot t} =C_{1} e^{2t} +C_{2} e^{1\cdot t} =C_{1} e^{2t} +C_{2} e^{t} \]

Частное решение неоднородного решения будем искать по виду правой части:

    \[y_{chastn} \left(t\right)=A\]

Тогда

    \[\left(A\right)^{{''} } -3\cdot \left(A\right)^{{'} } +2\cdot A=2\Rightarrow 2A=2\Rightarrow A=1\Rightarrow y_{chastn} \left(t\right)=1\]

Таким образом,

    \[y\left(t\right)=y_{odn} \left(t\right)+y_{chastn} \left(t\right)=C_{1} e^{2t} +C_{2} e^{t} +1\]

Вторую неизвестную функцию x\left(t\right) найдем из соотношения x=y'-2y+3:

    \[x\left(t\right)=\left(C_{1} e^{2t} +C_{2} e^{t} +1\right)^{{'} } -2\cdot \left(C_{1} e^{2t} +C_{2} e^{t} +1\right)+3=\]

    \[x\left(t\right)=2C_{1} e^{2t} +C_{2} e^{t} -2C_{1} e^{2t} -2C_{2} e^{t} -2+3=-C_{2} e^{t} +1=1-C_{2} e^{t} \]

Итак,

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=1-C_{2} e^{t} ,} \\ {y\left(t\right)=C_{1} e^{2t} +C_{2} e^{t} +1} \end{array}\right. \]

Ответ \left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=1-C_{2} e^{t} ,} \\ {y\left(t\right)=C_{1} e^{2t} +C_{2} e^{t} +1} \end{array}\right.

Решение систем дифференциальных уравнений метода Эйлера

Линейные однородные системы, например, с двумя неизвестным

    \[\left\{\begin{array}{l} {\frac{dx}{dt} =a_{1} x\left(t\right)+b_{1} y\left(t\right),} \\ {\frac{dy}{dt} =a_{2} x\left(t\right)+b_{2} y\left(t\right)} \end{array}\right. \qquad (1)\]

можно также решать с помощью метода Эйлера.

Решение системы будем искать в виде:

    \[x\left(t\right)=k_{1} e^{\lambda t} ,\; y\left(t\right)=k_{2} e^{\lambda t} \]

Здесь k_{1} ,\; k_{2} ,\; \lambda – некоторые константы. Для определения k_{1} и k_{2} подставляем эти решения в систему (1):

    \[\left\{\begin{array}{l} {k_{1} \lambda e^{\lambda t} =a_{1} k_{1} e^{\lambda t} +b_{1} k_{2} e^{\lambda t} ,} \\ {k_{2} \lambda e^{\lambda t} =a_{2} k_{1} e^{\lambda t} +b_{2} k_{2} e^{\lambda t} .} \end{array}\right. \]

После упрощения и сокращения на e^{\lambda t} >0 будем иметь:

    \[\left\{\begin{array}{l} {\left(a_{1} -\lambda \right)k_{1} +b_{1} k_{2} =0,} \\ {a_{2} k_{1} +\left(b_{2} -\lambda \right)k_{2} =0.} \end{array}\right. \qquad (2)\]

Полученная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель

    \[\Delta =\left|\begin{array}{cc} {a_{1} -\lambda }  \qquad  {b_{1} } \\ {a_{2} }  \qquad  {b_{2} -\lambda } \end{array}\right|=\left(a_{1} -\lambda \right)\left(b_{2} -\lambda \right)-a_{2} b_{1} \qquad (3)\]

равен нулю:

    \[\left(a_{1} -\lambda \right)\left(b_{2} -\lambda \right)-a_{2} b_{1} =0 \qquad (4)\]

Многочлен (3) называется характеристическим полиномом системы (1), а уравнение (4) называется ее характеристическим уравнением.

Возможны следующие случаи.

1. Корни \lambda _{1} ,\; \lambda _{2} характеристического уравнения (3) вещественные и различны. Тогда модно подставить в систему(2) вместо \lambda число \lambda _{1} и тем самым получить решение этой системы k_{1}^{1} и k_{2}^{1}. Аналогичные действия выполняются и для второго значения \lambda _{2} (в результате получаем соответственно k_{1}^{2} и k_{2}^{2}).

В результате получаем два частных решения:

    \[x_{1} \left(t\right)=k_{1}^{1} e^{\lambda _{1} t} ,\; y_{1} \left(t\right)=k_{2}^{1} e^{\lambda _{1} t} \]

и

    \[x_{2} \left(t\right)=k_{1}^{2} e^{\lambda _{2} t} ,\; y_{2} \left(t\right)=k_{2}^{2} e^{\lambda _{2} t} \]

А тогда общее решение исходной системы (1) имеет вид:

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=C_{1} x_{1} \left(t\right)+C_{2} x_{2} \left(t\right)=C_{1} k_{1}^{1} e^{\lambda _{1} t} +C_{2} k_{1}^{2} e^{\lambda _{2} t} ,} \\ {y\left(t\right)=C_{1} y_{1} \left(t\right)+C_{2} y_{2} \left(t\right)=C_{1} k_{2}^{1} e^{\lambda _{1} t} +C_{2} k_{2}^{2} e^{\lambda _{2} t} .} \end{array}\right. \]

2. Случай, когда корни характеристического уравнения комплексные, рассмотрим на пример.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Решить систему дифференциальных уравнений

    \[ \left\{\begin{array}{l} {x'=x-5y,} \\ {y'=2x-y} \end{array}\right  \]

Решение Выпишем систему (2) для определения k_{1} и k_{2}:

    \[\left\{\begin{array}{l} {\left(1-\lambda \right)k_{1} -5k_{2} =0,} \\ {2k_{1} -\left(1+\lambda \right)k_{2} =0.} \end{array}\right. \]

Характеристическое уравнение

    \[\left|\begin{array}{cc} {1-\lambda }  \qquad  {-5} \\ {2}  \qquad  {-\left(1+\lambda \right)} \end{array}\right|=0\Rightarrow -\left(1-\lambda \right)\left(1+\lambda \right)+10=0\Rightarrow \]

    \[ \Rightarrow -1+\lambda ^{2} +10=0\Rightarrow \lambda ^{2} +9=0\Rightarrow \lambda _{1,\, 2} =\pm 3i\]

Подставляем первое полученное значение \lambda _{1} =3i в систему для определения неизвестных k_{1} ,\; k_{2}:

    \[\left\{\begin{array}{l} {\left(1-3i\right)k_{1} -5k_{2} =0,} \\ {2k_{1} -\left(1+3i\right)k_{2} =0.} \end{array}\right. \]

Первое уравнение системы умножим на 2, а второе – на \left(1-3i\right). В результате будем иметь:

    \[\left\{\begin{array}{l} {2\left(1-3i\right)k_{1} -10k_{2} =0,} \\ {2\left(1-3i\right)k_{1} -10k_{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow 2\left(1-3i\right)k_{1} -10k_{2} =0 \Rightarrow  \]

    \[ \Rightarrow 5k_{2} =\left(1-3i\right)k_{1} \Rightarrow k_{2} =\frac{\left(1-3i\right)}{5} k_{1} \]

То есть искомое решение

    \[\left\{\begin{array}{l} {k_{1} =k_{1} ,} \\ {k_{2} =\frac{\left(1-3i\right)}{5} k_{1} .} \end{array}\right. \]

Тогда, взяв, к примеру, k_{1}^{1} =5, получим, что k_{2}^{1} =1-3i, и тогда первое частное решение принимает вид:

    \[\left\{\begin{array}{l} {x_{1} \left(t\right)=k_{1}^{1} e^{\lambda _{1} t} =5e^{3it} ,} \\ {y_{1} \left(t\right)=k_{2}^{1} e^{\lambda _{1} t} =\left(1-3i\right)e^{3it} .} \end{array}\right. \]

Аналогично поступаем со вторым корнем \lambda _{2} =-3i:

    \[\left\{\left. \begin{array}{l} {\left(1+3i\right)k_{1} -5k_{2} =0,} \\ {2k_{1} -\left(1-3i\right)k_{2} =0} \end{array}\right|\begin{array}{c} {\times 2} \\ {\times \left(1+3i\right)} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {2\left(1+3i\right)k_{1} -10k_{2} =0,} \\ {2\left(1+3i\right)k_{1} -10k_{2} =0} \end{array}\right. \Rightarrow  \]

    \[ \Rightarrow 2\left(1+3i\right)k_{1} -10k_{2} \Rightarrow k_{2} =\frac{\left(1+3i\right)}{5} k_{1} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {k_{1} =k_{1} ,} \\ {k_{2} =\frac{\left(1+3i\right)}{5} k_{1} .} \end{array}\right. \]

Для k_{1}^{2} =5 получаем, что k_{2}^{2} =1+3i и тогда второе фундаментальное решение

    \[\left\{\begin{array}{l} {x_{2} \left(t\right)=k_{1}^{2} e^{\lambda _{2} t} =5e^{-3it} ,} \\ {y_{2} \left(t\right)=k_{2}^{2} e^{\lambda _{2} t} =\left(1+3i\right)e^{-3it} .} \end{array}\right. \]

Перейдем к новой фундаментальной системе решений:

    \[\bar{x}_{1} =\frac{x_{1} +x_{2} }{2} =\frac{5e^{3it} +5e^{-3it} }{2} =\frac{5\left(e^{3it} +e^{-3it} \right)}{2} ,\]

    \[\ \bar{x}_{2} =\frac{x_{1} -x_{2} }{2i} =\frac{5e^{3it} -5e^{-3it} }{2i} =\frac{5\left(e^{3it} -e^{-3it} \right)}{2i} \]

    \[\bar{y}_{1} =\frac{y_{1} +y_{2} }{2} =\frac{\left(1-3i\right)e^{3it} +\left(1+3i\right)e^{-3it} }{2} ,\ \bar{y}_{2} =\frac{y_{1} -y_{2} }{2i} =\frac{\left(1-3i\right)e^{3it} -\left(1+3i\right)e^{-3it} }{2i} \]

Применим формулу Эйлера

    \[e^{ait} =\cos at+i\sin at\]

откуда

    \[e^{-ait} =\cos at-i\sin at\]

Сложением и вычитанием этих формул очень легко получить, что

    \[\cos at=\frac{e^{ait} +e^{-ait} }{2} ,\; \sin at=\frac{e^{ait} -e^{-ait} }{2i} \]

Тогда фундаментальные системы решений перепишутся в виде:

    \[\bar{x}_{1} \left(t\right)=\frac{5\left(e^{3it} +e^{-3it} \right)}{2} =5\cos 3t,\ \bar{x}_{2} \left(t\right)=\frac{5\left(e^{3it} -e^{-3it} \right)}{2i} =5\sin 3t\]

    \[\bar{y}_{1} \left(t\right)=\frac{\left(1-3i\right)e^{3it} +\left(1+3i\right)e^{-3it} }{2} =\frac{e^{3it} +e^{-3it} -3i\left(e^{3it} -e^{-3it} \right)}{2} =\]

    \[ =\frac{e^{3it} +e^{-3it} }{2} -3i\cdot \frac{e^{3it} -e^{-3it} }{2} =\]

    \[=\frac{e^{3it} +e^{-3it} }{2} +3\cdot \frac{e^{3it} -e^{-3it} }{2i} =\cos 3t+3\sin 3t;\]

    \[\bar{y}_{2} \left(t\right)=\frac{\left(1-3i\right)e^{3it} -\left(1+3i\right)e^{-3it} }{2i} =\frac{e^{3it} -e^{-3it} -3i\left(e^{3it} +e^{-3it} \right)}{2i} =\]

    \[=\frac{e^{3it} -e^{-3it} }{2i} -3i\cdot \frac{e^{3it} +e^{-3it} }{2i} =\]

    \[=\sin 3t-3\cdot \frac{e^{3it} +e^{-3it} }{2} =\sin 3t-3\cos 3t\]

Тогда общее решение заданной системы

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=C_{1} \bar{x}_{1} \left(t\right)+C_{2} \bar{x}_{2} \left(t\right)=5C_{1} \cos 3t+5C_{2} \sin 3t,} \\ {y\left(t\right)=C_{1} \bar{y}_{1} \left(t\right)+C_{2} \bar{y}_{2} \left(t\right)=C_{1} \left(\cos 3t+3\sin 3t\right)+C_{2} \left(\sin 3t-3\cos 3t\right)} \end{array}\right. \]

или

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=5C_{1} \cos 3t+5C_{2} \sin 3t,} \\ {y\left(t\right)=\left(C_{1} -3C_{2} \right)\cos t+\left(3C_{1} +C_{2} \right)\sin 3t.} \end{array}\right. \]

Замечание. Получив первое частное решение \left\{\begin{array}{l} {x_{1} \left(t\right)=5e^{3it} ,} \\ {y_{1} \left(t\right)=\left(1-3i\right)e^{3it} } \end{array}\right., можно было бы сразу записать общее решение исходной системы, пользуясь формулами

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=C_{1} \cdot Re\left(x_{1} \left(t\right)\right)+C_{2} \cdot Im\left(x_{1} \left(t\right)\right),} \\ {y\left(t\right)=C_{1} \cdot Re\left(y_{1} \left(t\right)\right)+C_{2} \cdot Im\left(y_{1} \left(t\right)\right),} \end{array}\right. \]

Где Re\left(z\right),\; Im\left(z\right) – действительная и мнимая части комплексного числа z соответственно.

Ответ \left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=5C_{1} \cos 3t+5C_{2} \sin 3t,} \\ {y\left(t\right)=\left(C_{1} -3C_{2} \right)\cos t+\left(3C_{1} +C_{2} \right)\sin 3t} \end{array}\right.

3. Случай кратных корней характеристического уравнения также рассмотрим на примере.

ПРИМЕР
Задание Найти решение однородной системы дифференциальных уравнений

    \[\left\{\begin{array}{l} {\frac{dx}{dt} =2x+y,} \\ {\frac{dy}{dt} =4y-x.} \end{array}\right. \]

Решение Составляем характеристическое уравнение заданной системы:

    \[\left|\begin{array}{cc} {2-\lambda }  \qquad  {1} \\ {-1}  \qquad  {4-\lambda } \end{array}\right|=0\Rightarrow \left(2-\lambda \right)\left(4-\lambda \right)+1=0\Rightarrow 8-6\lambda +\lambda ^{2} +1=0\Rightarrow \]

    \[ \Rightarrow \lambda ^{2} -6\lambda +9=0\Rightarrow \left(\lambda -3\right)^{2} =0\]

Таким образом, получаем, что корнями характеристического уравнения есть

    \[\lambda _{1,\; 2} =3\]

Тогда решение следует искать в виде

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=\left(C_{1} +C_{2} t\right)e^{3t} ,} \\ {y\left(t\right)=\left(C_{3} +C_{4} t\right)e^{3t} .} \end{array}\right. \qquad (5)\]

Подставляем записанное решение в первое уравнение исходной системы:

    \[\left(\left(C_{1} +C_{2} t\right)e^{3t} \right)^{{'} } =2\cdot \left(C_{1} +C_{2} t\right)e^{3t} +\left(C_{3} +C_{4} t\right)e^{3t} \]

    \[\left. C_{2} e^{3t} +{\rm 3}\left(C_{1} +C_{2} t\right)e^{3t} =2\cdot \left(C_{1} +C_{2} t\right)e^{3t} +\left(C_{3} +C_{4} t\right)e^{3t} \right|:e^{3t} >0\]

    \[C_{2} +{\rm 3}C_{1} +3C_{2} t=2C_{1} +2C_{2} t+C_{3} +C_{4} t\]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим следующую систему:

    \[\left\{\begin{array}{l} {3C_{2} =2C_{2} +C_{4} ,} \\ {C_{2} +3C_{1} =2C_{1} +C_{3} } \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {C_{2} =C_{4} ,} \\ {C_{2} =-C_{1} +C_{3} } \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {C_{4} =C_{2} ,} \\ {C_{3} =C_{1} +C_{2} .} \end{array}\right. \]

Выразили коэффициенты функции-решения y\left(t\right) через коэффициенты функции x\left(t\right).

Итак, искомое общее решение рассматриваемой системы:

    \[\left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=\left(C_{1} +C_{2} t\right)e^{3t} ,} \\ {y\left(t\right)=\left(C_{1} +C_{2} +C_{2} t\right)e^{3t} .} \end{array}\right. \]

Замечание. Решение (5) можно было подставить во второе уравнение системы и получить аналогичное решение.

Ответ \left\{\begin{array}{l} {x\left(t\right)=\left(C_{1} +C_{2} t\right)e^{3t} ,} \\ {y\left(t\right)=\left(C_{1} +C_{2} +C_{2} t\right)e^{3t} .} \end{array}\right.