Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение дифференциальных уравнений

Математические модели происходящих процессов чаще всего описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому остро стоит проблема нахождения их решения. Будем считать, что искомые функции рассматриваемых дифференциальных уравнений зависят от одной переменной.

Методы решения дифференциальных уравнений

1. К простейшим дифференциальным уравнениям первого порядка относятся уравнения вида

    \[y'=f\left(x\right)\]

Решение таких уравнений находится с помощью операции интегрирования:

    \[y'=f\left(x\right)\Rightarrow y\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx \]

ПРИМЕР
Задание Найти решение дифференциального уравнения y'=\sin x+x.
Решение Искомое решение

    \[y\left(x\right)=\int \left(\sin x+x\right)dx \]

Согласно свойствам интеграла, интеграл от суммы равен сумме интегралов, то есть получаем

    \[y\left(x\right)=\int \left(\sin x+x\right)dx =\int \sin xdx +\int xdx \]

Используя таблицу интегралов, окончательно будем иметь:

    \[y\left(x\right)=\int \sin xdx +\int xdx =-\cos x+\frac{x^{2} }{2} +C\]

Ответ y\left(x\right)=-\cos x+\frac{x^{2} }{2} +C

2. Дифференциальные уравнения вида

    \[f\left(x\right)\cdot y'=g\left(x\right)\]

сводятся к дифференциальным уравнениям y'=f\left(x\right) делением обеих частей равенства на f\left(x\right)\ne 0. В результате получаем дифференциальное уравнение

    \[y'=\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)} \]

Тогда, согласно выше написанному, его решение

    \[y=\int \frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)} dx \]

ПРИМЕР
Задание Решить дифференциальное уравнение \left(\sqrt{x} +1\right)\cdot y'=2
Решение В данном случае f\left(x\right)=\sqrt{x} +1, \quad g\left(x\right)=2. Делим левую и правую части заданного дифференциального уравнения на f\left(x\right), в результате будем иметь:

    \[y'=\frac{2}{\sqrt{x} +1} \]

Тогда искомое решение

    \[y\left(x\right)=\int \frac{2}{\sqrt{x} +1} dx \]

Полученный интеграл найдем с помощью замены переменной:

    \[y\left(x\right)=\int \frac{2}{\sqrt{x} +1} dx \; \left\| \begin{array}{l} {x=t^{2} } \\ {dx=2tdt} \end{array}\right\| =\int \frac{2tdt}{\sqrt{t^{2} } +1} =2\int \frac{tdt}{t+1} =\]

    \[=2\int \frac{\left(t+1\right)-1}{t+1} dt = 2\int \left(1-\frac{1}{t+1} \right)dt =2\int dt -2\int \frac{dt}{t+1} =2t-2\int \frac{d\left(t+1\right)}{t+1} =\]

    \[=2t-2\ln \left|t+1\right|+C=2\sqrt{x} -2\ln \left|\sqrt{x} +1\right|+C\]

Ответ y\left(x\right)=2\sqrt{x} -2\ln \left|\sqrt{x} +1\right|+C

3. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида f_{1} \left(x\right)g_{1} \left(y\right)dy=f_{2} \left(x\right)g_{2} \left(y\right)dx или f_{1} \left(x\right)g_{1} \left(y\right)y'\left(x\right)=f_{2} \left(x\right)g_{2} \left(y\right).

Например. \left(x+1\right)y^{2} dx=xydy

Дифференциальное уравнение g\left(y\right)dy=f\left(x\right)dx или g\left(y\right)\cdot y'=f\left(x\right) называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Например. \frac{dy}{y} =\frac{\left(x+1\right)dx}{x}

Общее решение такого уравнения ищется с помощью интегрирования обеих частей равенства g\left(y\right)dy=f\left(x\right)dx:

    \[\int g\left(y\right)dy =\int f\left(x\right)dx \]

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными сводятся к дифференциальным уравнениям с разделенными переменными делением на произведение f_{1} \left(x\right)g_{2} \left(y\right):

    \[f_{1} \left(x\right)g_{1} \left(y\right)dy=f_{2} \left(x\right)g_{2} \left(y\right)dx\Rightarrow \frac{g_{1} \left(y\right)dy}{g_{2} \left(y\right)} =\frac{f_{2} \left(x\right)dx}{f_{1} \left(x\right)} \]

ЗАМЕЧАНИЕ
Такое преобразование не приведет к появлению особых решений, если f_{1} \left(x\right)\ne 0,\; g_{2} \left(y\right)\ne 0 одновременно.
ПРИМЕР
Задание Найти решение дифференциального уравнения \left(x+1\right)dy=ydx
Решение Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим их:

    \[\left(x+1\right)dy=ydx\Rightarrow \frac{dy}{y} =\frac{dx}{x+1} \]

Общий интеграл уравнения

    \[\int \frac{dy}{y} =\int \frac{dx}{x+1} \]

Каждый из записанных интегралов найдем по отдельности:

    \[\int \frac{dy}{y} =\ln \left|y\right|+C_{1} \]

    \[\int \frac{dx}{x+1} =\int \frac{d\left(x+1\right)}{x+1} =\ln \left|x+1\right|+C_{2} \]

Тогда имеем, что

    \[\ln \left|y\right|=\ln \left|x+1\right|+\ln C\]

В данном случае в качестве константы интегрирования рациональнее (для дальнейших преобразований) взять \ln C вместо привычного C.

Итак, далее используя свойства логарифмов, преобразуем получение решение следующим образом:

    \[\ln \left|y\right|=\ln C\left|x+1\right|\Rightarrow y=C\left(x+1\right)\]

Ответ y\left(x\right)=C\left(x+1\right)

Подробнее о дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными читайте в отдельной статье.

4. Дифференциальные уравнения вида

    \[y'=f\left(ax+by\right),\; a,\, b\in R\]

сводятся к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены

    \[ax+by=t\]

ПРИМЕР
Задание Решить дифференциальное уравнение y'=\sqrt{2x+3y}
Решение Сведем заданное дифференциальное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, для этого сделаем замену

    \[2x+3y=t\]

тогда

    \[\left(2x+3y\right)^{{'} } =t'\]

или

    \[2\cdot 1+3y'=t'\]

Отсюда

    \[y'=\frac{t'-2}{3} \]

Исходное дифференциальное уравнение принимает вид:

    \[\frac{t'-2}{3} =\sqrt{t} \]

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделим их:

    \[t'-2=3\sqrt{t} \Rightarrow t'=3\sqrt{t} +2\Rightarrow \frac{dt}{dx} =3\sqrt{t} +2\Rightarrow \frac{dt}{3\sqrt{t} +2} =dx\]

Общий интеграл уравнения:

    \[\int \frac{dt}{3\sqrt{t} +2} =\int dx \]

Найдем каждый из записанных интегралов отдельно:

    \[\int \frac{dt}{3\sqrt{t} +2} =\frac{1}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{t} +\frac{2}{3} } \; \left\| \begin{array}{l} {t=z^{2} } \\ {dt=2zdz} \end{array}\right\| =\frac{1}{3} \int \frac{2zdz}{z+\frac{2}{3} } =\frac{2}{3} \int \frac{\left(z+\frac{2}{3} \right)-\frac{2}{3} }{z+\frac{2}{3} } dz =\]

    \[=\frac{2}{3} \int \left(1-\frac{2}{3\left(z+\frac{2}{3} \right)} \right)dz =\frac{2}{3} \int dz -\frac{4}{9} \int \frac{dz}{z+\frac{2}{3} } =\frac{2}{3} z-\frac{4}{9} \ln \left|z+\frac{2}{3} \right|+C_{1} =\]

    \[=\frac{2}{3} \sqrt{t} -\frac{4}{9} \ln \left|\sqrt{t} +\frac{2}{3} \right|+C_{1} ;\]

    \[\int dx =x+C_{2} \]

Отсюда

    \[\frac{2}{3} \sqrt{t} -\frac{4}{9} \ln \left|\sqrt{t} +\frac{2}{3} \right|=x+C\]

После обратной замены, окончательно имеем, что

    \[\frac{2}{3} \sqrt{2x+3y} -\frac{4}{9} \ln \left|\sqrt{2x+3y} +\frac{2}{3} \right|=x+C\]

Ответ \frac{2}{3} \sqrt{2x+3y} -\frac{4}{9} \ln \left|\sqrt{2x+3y} +\frac{2}{3} \right|=x+C

5. Однородным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение y'=f\left(x;\; y\right), удовлетворяющее условию

    \[f\left(\lambda x;\; \lambda y\right)=\lambda ^{n} f\left(x;\; y\right)\]

Однородные дифференциальные уравнения можно свисти к уравнению вида y'=f\left(\frac{y}{x} \right) или y'=f\left(\frac{x}{y} \right), которое с помощью замены

    \[\frac{y\left(x\right)}{x} =z\left(x\right)\Rightarrow y=xz\Rightarrow y'=z+xz'\]

(или \frac{x}{y} =z) сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
ПРИМЕР
Задание Решить дифференциальное уравнение y'+\frac{x^{2} +y^{2} }{xy} =0
Решение Заданное уравнение является однородным. Почленно разделим второе слагаемое в левой части заданного уравнения:

    \[y'+\frac{x^{2} }{xy} +\frac{y^{2} }{xy} =0\Rightarrow y'+\frac{x}{y} +\frac{y}{x} =0\]

Делаем замену:

    \[\frac{y}{x} =z\Rightarrow y=xz\Rightarrow y'=z+xz'\]

и

    \[\frac{x}{y} =\frac{1}{z} \]

Заданное уравнение принимает вид:

    \[z+xz'+z+\frac{1}{z} =0\]

    \[xz'+\frac{2z^{2} +1}{z} =0\Rightarrow xz'=-\frac{2z^{2} +1}{z} \Rightarrow x\frac{dz}{dx} =-\frac{2z^{2} +1}{z} \]

Пришли к уравнению с разделяющимися переменными, разделим их (для этого домножаем обе части равенства на выражение \frac{zdx}{x\left(2z^{2} +1\right)}):

    \[\frac{zdz}{2z^{2} +1} =-\frac{dx}{x} \]

Общий интеграл уравнения:

    \[\int \frac{zdz}{2z^{2} +1} =-\int \frac{dx}{x} \]

Найдем каждый из интегралов отдельно:

    \[\int \frac{zdz}{2z^{2} +1} \; \left\| \begin{array}{l} {2z^{2} +1=t} \\ {4zdz=dt} \\ {zdz=\frac{dt}{4} } \end{array}\right\| =\int \frac{\frac{dt}{4} }{t} =\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t} =\frac{1}{4} \ln \left|t\right|+C_{1} =\frac{1}{4} \ln \left(2z^{2} +1\right)+C_{1} ;\]

    \[\int \frac{dx}{x} =\ln \left|x\right|+C_{2} \]

То есть получаем:

    \[\frac{1}{4} \ln \left(2z^{2} +1\right)=-\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|\]

Преобразуем полученное выражение следующим образом:

    \[\frac{1}{4} \ln \left(2z^{2} +1\right)=\ln \left|\frac{C}{x} \right|\]

    \[\ln \left(2z^{2} +1\right)=4\ln \left|\frac{C}{x} \right|\]

или

    \[\ln \left(2z^{2} +1\right)=\ln \left(\frac{C}{x} \right)^{4} \]

Потенцируя левую и правую часть последнего равенства, будем иметь:

    \[2z^{2} +1=\left(\frac{C}{x} \right)^{4} \]

Сделаем обратную замену z=\frac{y}{x} и введем новое обозначение C^{4} =\tilde{C}:

    \[2\cdot \left(\frac{y}{x} \right)^{2} +1=\frac{\tilde{C}}{x^{4} } , \frac{2y^{2} +x^{2} }{x^{2} } =\frac{\tilde{C}}{x^{4} } \Rightarrow x^{2} \left(x^{2} +2y^{2} \right)=\tilde{C}\]

Ответ x^{2} \left(x^{2} +2y^{2} \right)=\tilde{C}

Подробнее об однородных дифференциальных уравнениях читайте в отдельной статье.

6. Дифференциальные уравнения y'=\frac{a_{1} x+b_{1} y+c_{1} }{a_{2} x+b_{2} y+c_{2} }, где коэффициенты a_{1} ,\; a_{2} ,\; b_{1} ,\; b_{2} ,\; c_{1} ,\; c_{2} – некоторые действительные числа.

Если c_{1} =c_{2} =0, то данное уравнение является однородным и методика получения его решения описана выше.

Рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел c_{1} или c_{2} отлично от нуля. Выполним заменой (введем новые переменные)

    \[\left\{\begin{array}{l} {x=x_{1} +h,} \\ {y=y_{1} +k.} \end{array}\right. \]

Здесь h,\; k – некоторые числа. При этом

    \[y'=\frac{dy}{dx} =\frac{dy_{1} }{dx_{1} } =y'_{1} \]

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:

    \[\frac{dy_{1} }{dx_{1} } =\frac{a_{1} \left(x_{1} +h\right)+b_{1} \left(y_{1} +k\right)+c_{1} }{a_{2} \left(x_{1} +h\right)+b_{2} \left(y_{1} +k\right)+c_{2} } \]

или

    \[\frac{dy_{1} }{dx_{1} } =\frac{a_{1} x_{1} +b_{1} y_{1} +a_{1} h+b_{1} k+c_{1} }{a_{2} x+b_{2} y+a_{2} h+b_{2} k+c_{2} } \]

Величины h,\; k будем выбирать так, чтобы свободные коэффициенты в числителе и знаменателе последнего дифференциального уравнения равнялись нулю. То есть h и k найдем из системы

    \[\left\{\begin{array}{l} {a_{1} h+b_{1} k+c_{1} =0,} \\ {a_{2} h+b_{2} k+c_{2} =0.} \end{array}\right. \]

С учетом этого уравнение \frac{dy_{1} }{dx_{1} } =\frac{a_{1} x_{1} +b_{1} y_{1} +a_{1} h+b_{1} k+c_{1} }{a_{2} x+b_{2} y+a_{2} h+b_{2} k+c_{2} } сводится к дифференциальному уравнению

    \[\frac{dy_{1} }{dx_{1} } =\frac{a_{1} x_{1} +b_{1} y_{1} }{a_{2} x+b_{2} y_{2} } \]

которое является однородным.

ЗАМЕЧАНИЕ
Описанный способ решения применим и к дифференциальным уравнениям вида y'=f\left(\frac{a_{1} x+b_{1} y+c_{1} }{a_{2} x+b_{2} y+c_{2} } \right).
ПРИМЕР
Задание Решить дифференциальное уравнение y'=\frac{x+3y+4}{3x-6}
Решение Сделаем замену

    \[x=x_{1} +h\]

    \[y=y_{1} +k\]

Тогда с учетом того, что y'=y'_{1}, исходное дифференциальное уравнение принимает вид:

    \[y'_{1} =\frac{x_{1} +h+3\left(y_{1} +k\right)+4}{3\left(x_{1} +h\right)-6} \]

После упрощения, получим:

    \[y'_{1} =\frac{x_{1} +3y_{1} +h+3k+4}{3x_{1} +3h-6} \]

Числа h и k являются решениями системы

    \[\left\{\begin{array}{l} {h+3k+4=0,} \\ {3h-6=0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {h+3k+4=0,} \\ {h=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {k=-2,} \\ {h=2.} \end{array}\right. \]

В этом случае последнее дифференциальное уравнение запишется в виде:

    \[y'_{1} =\frac{x_{1} +3y_{1} }{3x_{1} } \]

Перепишем последнее равенство в виде:

    \[y'_{1} =\frac{1}{3} +\frac{y_{1} }{x_{1} } \qquad (1)\]

Полученное уравнение является однородным дифференциальным уравнением (см. тип 5). Для его решения сделаем замену

    \[\frac{y_{1} \left(x_{1} \right)}{x_{1} } =z\left(x_{1} \right)\Rightarrow y_{1} =x_{1} z\Rightarrow y'_{1} =z+x_{1} \cdot z'\]

Тогда уравнение (1)

    \[z+x_{1} z'=\frac{1}{3} +z\]

или

    \[x_{1} z'=\frac{1}{3} \]

Получили уравнение с разделяющимися переменными (уравнение типа 3), разделим их:

    \[x_{1} \cdot \frac{dz}{dx_{1} } =\frac{1}{3} \Rightarrow dz=\frac{dx_{1} }{3x_{1} } \]

Общий интеграл уравнения:

    \[\int dz =\int \frac{dx_{1} }{3x_{1} } \]

отсюда

    \[z=\frac{\ln \left|x_{1} \right|}{3} +C \qquad (2)\]

Делаем обратную замену

    \[z=\frac{y_{1} }{x_{1} } \]

Тогда решение (2) принимает вид:

    \[\frac{y_{1} }{x_{1} } =\frac{\ln \left|x_{1} \right|}{3} +C\]

Переходим к исходным переменным

    \[x=x_{1} +2\Rightarrow x_{1} =x-2\]

    \[y=y_{1} -2\Rightarrow y_{1} =y+2\]

В результате получаем решение исходного дифференциального уравнения

    \[\frac{y+2}{x-2} =\frac{\ln \left|x-2\right|}{3} +C\]

Ответ \frac{y+2}{x-2} =\frac{\ln \left|x-2\right|}{3} +C