Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Определение и формулы дифференциальных уравнений первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение вида

$F\left(x,\; y,\; y'\right)=0 \qquad (1)$

где $y=y\left(x\right)$ – неизвестная, непрерывная и дифференцируемая на некотором промежутке $\left(a;\; b\right)$ функция.

Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит независимую переменную x, неизвестную (искомую) функцию $y=y\left(x\right)$ и ее первую производную $y'\left(x\right)$ .

ЗАМЕЧАНИЕ

Некоторых такие уравнения могут не содержать x или y, но обязательно в их записи должна быть первая производная $y'$ .

Функция $y=y\left(x\right)$ называется решением дифференциального уравнения (1), если после подстановки функции в это уравнение оно обращается в тождество:

$F\left(x,\; y\left(x\right),\; y'\left(x\right)\right)\equiv 0$

ПРИМЕР

Задание

Доказать, что функция $y=x$ является решением дифференциального уравнения $y'=1$

Доказательство

Подставим заданную функцию $y=x$ в уравнение:

$\left(x\right)^{{'} } =1\Rightarrow 1=1$

В результате получили верное тождество.

Что и требовалось доказать.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Решить дифференциальное уравнение означает, что нужно найти такое множество функций $y=y\left(x\right)$ , которые удовлетворяют заданному уравнению. Это множество функций имеет вид

$y=f\left(x,\; C\right)$

где C – произвольная постоянная, который называется общим решением дифференциального уравнения (1).

График, соответствующий решению дифференциального уравнения (1), называется интегральной кривой этого уравнения.

Для того чтобы из множества решений выделить единственное, нужно задать начальные условия.

Задача отыскания решения $y=y\left(x\right)$ уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию $y\left(x_{0} \right)=y_{0}$ , называется задачей Коши.

Любое решение задачи Коши уравнения (1) называется частным решением этого уравнения.

Если общее решение уравнения (1) записано в неявном виде $f\left(x;\; y\right)=C$ , то оно называется общим интегралом этого уравнения.

Если дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, то его называют уравнением, записанными в нормальной форме:

$y'=f\left(x,\; y\right)$

Далее рассмотрим методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка

$y'+p\left(x\right)y=f\left(x\right) \qquad (2)$

ЗАМЕЧАНИЕ

Если уравнение (2) является однородным (правая часть функции $f\left(x\right)=0$ ), то тогда это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

1. Метод Бернулли или метод подстановки

Делаем замену

$y\left(x\right)=u\left(x\right)v\left(x\right)$

а тогда по правилу дифференцирования произведения получаем, что

$y'=u'v+uv'$

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:

$u'v+uv'+p\left(x\right)uv=f\left(x\right)$

Во втором и третьем слагаемом левой части последнего равенства вынесем функцию u за скобки:

$u'v+u\left[v'+p\left(x\right)v\right]=f\left(x\right) \qquad (3)$

Функцию $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ подбираются таким образом, чтобы выражение $v'+p\left(x\right)v$ , стоящее в скобках, обращалось в нуль:

$v'+p\left(x\right)v=0$

Тогда уравнение (3) распадается на два, которые запишем в виде следующей системы:

$\left\{\begin{array}{l} {v'+p\left(x\right)v=0,} \\ {u'v=f\left(x\right).} \end{array}\right. \qquad (4)$

Второе уравнение системы получаем из уравнения (3) с учетом того, что второе слагаемое обнуляется.

Далее находится решение полученной системы. вначале из первого уравнения находится функция $v\left(x\right)$ (это уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными):

$\frac{dv}{dx} =-p\left(x\right)v\Rightarrow \frac{dv}{v} =-p\left(x\right)dx\Rightarrow \int \frac{dv}{v} =-\int p\left(x\right)dx \Rightarrow \ln v=-\int p\left(x\right)dx \Rightarrow v\left(x\right)=e^{-\int p\left(x\right)dx }$

ЗАМЕЧАНИЕ

В данном случае константа интегрирования C считается равной нулю.

Подставляем полученную функцию v во второе уравнение системы:

$u'e^{-\int p\left(x\right)dx } =f\left(x\right)\Rightarrow u'=e^{\int p\left(x\right)dx } \cdot f\left(x\right)\Rightarrow u\left(x\right)=\int e^{\int p\left(x\right)dx } \cdot f\left(x\right)dx$

А тогда, находим и искомую функцию

$y\left(x\right)=\int e^{\int p\left(x\right)dx } \cdot f\left(x\right)dx \cdot e^{-\int p\left(x\right)dx }$

ПРИМЕР

Задание

Найти решение уравнения $y'-y=e^{x}$

Решение

Заданное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка вида (1). Его решение ищем в виде

$y\left(x\right)=u\left(x\right)v\left(x\right)\Rightarrow y'=u'v+uv'$

Исходное уравнение принимает вид:

$u'v+uv'-uv=e^{x}$

Группируем второе и третье слагаемые:

$u'v+u\left(v'-v\right)=e^{x}$

Функции u и v подбираются так, чтобы выражение, стоящее в скобках во втором слагаемом равнялось нулю. Полученное уравнение распадается на два (записываем систему вида (4)):

$\left\{\begin{array}{l} {v'-v=0,} \\ {u'v=e^{x} .} \end{array}\right.$

Найдем решение первого уравнения $v'-v=0$ этой системы. Это дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим их:

$v'-v=0\Rightarrow \frac{dv}{dx} =v\Rightarrow \frac{dv}{v} =dx$

Общий интеграл уравнения:

$\int \frac{dv}{v} =\int dx \Rightarrow \ln v=x\Rightarrow v\left(x\right)=e^{x}$

Второе уравнение системы после этого принимает вид:

$u'\cdot e^{x} =e^{x} \Rightarrow u'=1\Rightarrow u\left(x\right)=\int dx =x+C$

Таким образом,

$y\left(x\right)=\left(x+C\right)e^{x}$

Ответ

$y\left(x\right)=\left(x+C\right)e^{x}$

2. Метод Лагранжа или метод вариации произвольной постоянной

Этот метод применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений вида (2).

Вначале находится решение соответствующего однородного уравнения

$y'+p\left(x\right)y=0$

которое, как уже было сказано выше, является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пусть полученное решение

$y_{odn} \left(x\right)=y\left(C,\; x\right)$

Далее варьируем постоянную C. То есть считаем, что она есть функцией переменной x:

$C=C\left(x\right)$

И тогда общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде:

$y\left(x\right)=y\left(C\left(x\right),\; x\right)$

Неизвестную функцию $C\left(x\right)$ находим подстановкой последнего выражения в исходное неоднородное уравнение (2).

ПРИМЕР

Задание

Найти общее решение дифференциального уравнения $y'+2xy=xe^{-x^{2} }$

Решение

Заданное дифференциальное уравнение относится к нелинейным дифференциальным уравнениям первого порядка. Вначале найдем решение соответствующего однородного уравнения

$y'+2xy=0$

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим их:

$\frac{dy}{dx} =-2xy\Rightarrow \frac{dy}{y} =-2xdx\Rightarrow \int \frac{dy}{y} =\int \left(-2x\right)dx$

То есть

$\ln y=-2\cdot \frac{x^{2} }{2} +\ln C\Rightarrow \ln y=-x^{2} +\ln C$

или

$y_{odn} \left(x\right)=Ce^{-x^{2} }$

Для нахождения решения исходного неоднородного уравнения варьируем произвольную постоянную: считаем, что она есть функцией переменной x, то есть $C=C\left(x\right)$ , тогда искомое решение принимает вид: