Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Определение и формулы линейных неоднородных ДУ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

$y^{\left(n\right)} +a_{n-1} \left(x\right)y^{\left(n-1\right)} +a_{n-2} \left(x\right)y^{\left(n-2\right)} +...+a_{1} \left(x\right)y'+a_{0} \left(x\right)y=f\left(x\right) \qquad (1)$

где $y=y\left(x\right)$ – неизвестная функция, $a_{0} \left(x\right),\; a_{1} \left(x\right),...,\; a_{n-1} \left(x\right), \quad f\left(x\right)$ – заданные непрерывные функции.

Например: $y'''-2y'+17y=e^{2x} \cos 5x$

Решение линейных неоднородных дифференциальные уравнения

Для таких уравнений справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1. Если $y_{1} \left(x\right)$ и $y_{2} \left(x\right)$ – два решения неоднородного уравнения (1), то функция

$y\left(x\right)=y_{1} \left(x\right)-y_{2} \left(x\right)$

есть решение соответствующего однородного уравнения

$y^{\left(n\right)} +a_{n-1} \left(x\right)y^{\left(n-1\right)} +a_{n-2} \left(x\right)y^{\left(n-2\right)} +...+a_{1} \left(x\right)y'+a_{0} \left(x\right)y=0 \qquad (2)$

Утверждение 2. Если функция $y_{1} \left(x\right)$ – решение неоднородного уравнения (1), а функция $y_{2} \left(x\right)$ – решение соответствующего однородного уравнения (2), то функция $y\left(x\right)=y_{1} \left(x\right)+y_{2} \left(x\right)$ – решение неоднородного уравнения.

Утверждение 3. Если $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),...,\; y_{n} \left(x\right)$ – n линейно независимых решений однородного уравнения (2), а $y_{chastn} \left(x\right)$ – некоторое частное решение неоднородного уравнения (1), то для любых начальных значений $x_{0} ,\; y_{0} ,\, y_{0,\, 1} ,....,\; y_{0,\, n-1}$ , то существуют такие константы $C_{1} ,\; C_{2} ,...,\; C_{n}$ , что решение

$y\left(x\right)=C_{1} y_{1} \left(x\right)+C_{2} y_{2} \left(x\right)+...+C_{n} y_{n} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right) \qquad (3)$

удовлетворяет при $x=x_{0}$ начальным условиям

$y\left(x_{0} \right)=y_{0} ,\; y'\left(x_{0} \right)=y_{0,\, 1} ,...,\; y^{\left(n-1\right)} \left(x_{0} \right)=y_{0,\, n-1}$

Решение (3) называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения (1).

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (1) с правыми частями вида

$e^{\alpha x} \left[P_{m} \left(x\right)\cos \beta x+Q_{n} \left(x\right)\sin \beta x\right]$

где $P_{m} \left(x\right),\; Q_{n} \left(x\right)$ – заданные многочлены, применяется метод подбора или метод неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем. Искомое частное решение уравнения записывается в виде:

$y_{chastn} \left(x\right)=e^{\alpha x} \left[M_{k} \left(x\right)\cos \beta x+N_{k} \left(x\right)\sin \beta x\right]\cdot x^{s}$

где $M_{k} \left(x\right),\; N_{k} \left(x\right)$ – многочлены степени $k=\max \left\{m,\; n\right\}$ с неизвестными коэффициентами.

Сомножитель $x^{s}$ называется резонансным сомножителем.

Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения

$k^{n} +a_{n-1} k^{n-1} +...+a_{1} k+a_{0} =0 \qquad (4)$

соответствующего однородному уравнению (2), есть корень $k=\alpha \pm \beta i$ кратности s. То есть если среди корней характеристического уравнения имеется такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая – с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель $x^{s}$ . Если же такого корня нет, то резонансный сомножитель отсутствует (в этом случае $s=0$ ).

Далее подставляем выражение для частного решения в левую часть уравнения (1), в результате получаем многочлен с неопределенными коэффициентами. Затем приравниваем коэффициенты при соответствующих произведениях $x^{t} e^{\alpha x} \cos \beta x, \quad x^{t} e^{\alpha x} \sin \beta x,...$ . В результате получим систему $2\left(k+1\right)$ линейных алгебраических уравнений относительно $2\left(k+1\right)$ неизвестных.

Аналогичным образом поступают, если правая часть уравнения (1)

$f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)e^{ax}$

Частное решение ищут в виде

$y_{chastn} \left(x\right)=e^{ax} Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{s}$

где $Q_{n} \left(x\right)$ – многочлен той же степени, что и заданный многочлен $P_{n} \left(x\right)$ , но с неопределенными коэффициентами. Резонансный сомножитель $x^{s}$ присутствует, если среди корней характеристического уравнения (4) есть значение $x=a$ . Если же такого корня нет, то резонанс отсутствует.

Таким образом, для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1) надо найти общее решение соответствующего однородного уравнения (2) (ссылки на линейные неоднородные уравнения второго порядка), любое частное решение неоднородного уравнения и записать выражение для общего решения вида (3).

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Найти решение уравнения $y'''+3y''-4y'=1-x^{2}$

Решение

Вначале найдем решение соответствующего однородного уравнения

$y'''+3y''-4y'=0$

Его характеристическое уравнение

$k^{3} +3k^{2} -4k=0\Rightarrow k\left(k^{2} +3k-4\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {k_{1} =0,} \\ {k^{2} +3k-4=0} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {k_{1} =0,} \\ {k_{2} =1,} \\ {k_{3} =-4.} \end{array}\right.$

Решение однородного уравнения в этом случае запишется в виде:

$y_{odn} \left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} +C_{3} e^{k_{3} x} =C_{1} e^{0\cdot x} +C_{2} e^{1\cdot x} +C_{3} e^{-4\cdot x} =C_{1} +C_{2} e^{x} +C_{3} e^{-4x}$

Найдем теперь какое-либо частное решение исходного неоднородного уравнения. Поскольку в правой части стоит многочлен второй степени, то есть $P_{2} \left(x\right)=-x^{2} +1$ , то многочлен

$Q_{2} \left(x\right)=Ax^{2} +Bx+C$

Проверяем, есть ли резонанс. Правую часть $f\left(x\right)=1-x^{2}$ запишем следующим образом:

$f\left(x\right)=1-x^{2} =e^{0\cdot x} \left(-x^{2} +1\right)$

Тогда, поскольку значение $x=0$ есть простым корнем характеристического уравнения (то есть корнем кратности 1), то резонанс есть и тогда $s=1$ . Итак,

$y_{chastn} \left(x\right)=\left(Ax^{2} +Bx+C\right)\cdot x=Ax^{3} +Bx^{2} +Cx$

Подставляем это решение в заданное дифференциальное уравнение:

$\left(Ax^{3} +Bx^{2} +Cx\right)+3\cdot \left(Ax^{3} +Bx^{2} +Cx\right)^{{''} } -4\cdot \left(Ax^{3} +Bx^{2} +Cx\right)^{{'} } =1-x^{2}$

$6A+3\cdot \left(6Ax+2B\right)-4\cdot \left(3Ax^{2} +2Bx+C\right)=1-x^{2}$

$-12Ax^{2} +\left(18A-8B\right)x+6A+6B-4C=-x^{2} +1\Rightarrow$

$\left. \begin{array}{l} {x^{2} } \\ {x^{1} } \\ {x^{0} } \end{array}\right|\begin{array}{l} {-12A=-1,} \\ {18A-8B=0,} \\ {6A+6B-4C=1} \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=\frac{1}{12} ,} \\ {B=\frac{3}{16} ,} \\ {C=\frac{5}{32} .} \end{array}\right.$

Тогда

$y_{chastn} \left(x\right)=\left(\frac{x^{2} }{12} +\frac{3x}{16} +\frac{5}{32} \right)\cdot x=\frac{\left(8x^{2} +18x+15\right)x}{96}$

Таким образом, общее решение исходного уравнения

$y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)=C_{1} +C_{2} e^{x} +C_{3} e^{-4x} +\frac{\left(8x^{2} +18x+15\right)x}{96}$

Ответ

$y\left(x\right)=C_{1} +C_{2} e^{x} +C_{3} e^{-4x} +\frac{\left(8x^{2} +18x+15\right)x}{96}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Определение и формулы линейных неоднородных ДУ

Решение линейных неоднородных дифференциальные уравнения

Примеры решения задач