Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы линейных неоднородных ДУ 2-ого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

    \[y''+py'+qy=f\left(x\right) \qquad (1)\]

Здесь p,\; q – некоторые константы.

Соответствующее ему однородное уравнение:

    \[y''+py'+qy=0 \qquad (2)\]

Решение дифференциальные уравнения второго порядка

Решение уравнения (2) ищется в виде:

    \[y\left(x\right)=e^{kx} \]

После подстановки этого решения в уравнение (2) получаем алгебраическое уравнение

    \[k^{2} +pk+q=0\]

Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному дифференциальному уравнению (2).

ЗАМЕЧАНИЕ
Итак, для составления характеристического уравнения, необходимо заменить производные степенями производной неизвестной величины k, причем степень k должна равняться порядку соответствующей производной.

В результате решения характеристического уравнения, возможны следующие варианты:

1) корни характеристического уравнения k_{1} \ne k_{2} – различные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} ;\]

2) корни характеристического уравнения k_{1} =k_{2} =k – равные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{kx} +C_{2} xe^{kx} =\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{kx} ;\]

3) корни характеристического уравнения k_{1} =\alpha +\beta i,k_{2} =\alpha -\beta iкомплексно сопряженные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:

    \[y\left(x\right)=e^{\alpha x} \left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Найти решение линейного однородного дифференциального уравнения y''-3y'+2y=0
Решение Запишем соответствующее характеристическое уравнение:

    \[k^{2} -3k+2=0\]

Его корни k_{1} =1,\; k_{2} =2 (их можно найти, например, либо с использованием дискриминанта, либо по теореме Виета). Поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны, то решение заданного однородного дифференциального уравнения второго порядка запишется в виде:

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{1\cdot x} +C_{2} e^{2\cdot x} =C_{1} e^{x} +C_{2} e^{2x} \]

Ответ y\left(x\right)=C_{1} e^{x} +C_{2} e^{2x}
ПРИМЕР
Задание Проинтегрировать дифференциальное уравнение y''-2y'+y=0. Найти его частное решение при условиях y\left(0\right)=2,\; y'\left(0\right)=4
Решение Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид:

    \[k^{2} -2k+1=0\Rightarrow \left(k-1\right)^{2} =0\]

Решая его, получаем, что k_{1} =k_{2} =1, то есть корни характеристического уравнения действительны и равны друг другу. Тогда искомое решение принимает вид:

    \[y\left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{x} \]

Значение констант C_{1} и C_{2} из заданных начальных условий y\left(0\right)=2,\; y'\left(0\right)=4:

    \[y\left(0\right)=2: \quad 2=\left(C_{1} +C_{2} \cdot 0\right)\cdot e^{0} \Rightarrow C_{1} =2\Rightarrow y\left(x\right)=\left(2+C_{2} x\right)e^{x} \]

Из второго условия y'\left(0\right)=4 получим:

    \[y'\left(x\right)=\left(2e^{x} +C_{2} xe^{x} \right)^{{'} } =2e^{x} +C_{2} e^{x} +C_{2} xe^{x} \Rightarrow 4=2+C_{2} \Rightarrow C_{2} =2\]

Итак,

    \[y\left(x\right)=\left(2+2x\right)e^{x} =2\left(x+1\right)e^{x} \]

Ответ y\left(x\right)=2\left(x+1\right)e^{x}
ПРИМЕР
Задание Найти решение дифференциального уравнения y''-2y'+2y=0
Решение Составляем характеристическое уравнение, которое соответствует заданному однородному дифференциальному уравнению второго порядка:

    \[k^{2} -2k+2=0\Rightarrow D=\left(-2\right)^{2} -4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4=\left(2i\right)^{2} \Rightarrow k_{1,\, 2} =\frac{2\pm 2i}{2} =1\pm i\]

Итак, получаем, что корнями характеристического многочлена являются комплексно сопряженные числа, для которых \alpha =1, \quad \beta =1. Тогда искомое решение

    \[y\left(x\right)=e^{\alpha x} \left(C_{1} \cos \beta xC_{2} \sin \beta x\right)=e^{x} \left(C_{1} \cos x+C_{2} \sin x\right)\]

Ответ y\left(x\right)=e^{x} \left(C_{1} \cos x+C_{2} \sin x\right)
ТЕОРЕМА
Общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения y_{odn} \left(x\right) соответствующего однородного уравнения (2) и частного решения y_{chastn} \left(x\right) неоднородного уравнения:

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)\]

К уравнениям вида (1) чаще всего применяются два метода решения: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов.

Метод вариации постоянных или метод Лагранжа

Если известно общее решение y_{odn}(x) соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:

    \[y_{odn} \left(x\right)=C_{1} y_{1} \left(x\right)+C_{2} y_{2} \left(x\right) \qquad (3)\]

Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины C_{1} и C_{2} – это не постоянные, а функции переменной x:

    \[C_{1} =C_{1} \left(x\right), C_{2} =C_{2} \left(x\right)\]

То есть решение неоднородного уравнения тогда ищется в виде:

    \[y\left(x\right)=C_{1} \left(x\right)y_{1} \left(x\right)+C_{2} \left(x\right)y_{2} \left(x\right) \qquad (4)\]

Искомые функции C_{1} \left(x\right) и C_{2} \left(x\right) находятся из системы

    \[\left\{\begin{array}{l} {C'_{1} \left(x\right)y_{1} +C'_{2} \left(x\right)y_{2} =0,} \\ {C'_{1} \left(x\right)y'_{1} +C'_{2} \left(x\right)y'_{2} =f\left(x\right).} \end{array}\right. \qquad (5)\]

Определитель этой системы

    \[W=\left|\begin{array}{cc} {y_{1} }  \qquad  {y_{2} } \\ {y'_{1} }  \qquad  {y'_{2} } \end{array}\right|\]

называется определителем Вронского.

Решая систему (5) относительно пока неизвестных функций C_{1} \left(x\right) и C_{2} \left(x\right) (а точнее относительно их производных C'_{1} \left(x\right) и C'_{2} \left(x\right)), будем иметь:

    \[C'_{1} \left(x\right)=-\frac{y_{2} f\left(x\right)}{W} , C'_{2} \left(x\right)=\frac{y_{1} f\left(x\right)}{W} \]

Интегрируя последние равенства, получаем:

    \[C_{1} \left(x\right)=-\int \frac{y_{2} f\left(x\right)}{W} dx +\bar{C}_{1} , C_{2} \left(x\right)=\int \frac{y_{1} f\left(x\right)}{W} dx +\bar{C}_{2} \]

Подставляя полученные в результате функции в решение (4), будем иметь:

    \[y\left(x\right)=\left(-\int \frac{y_{2} f\left(x\right)}{W} dx +\bar{C}_{1} \right)y_{1} \left(x\right)+\left(\int \frac{y_{1} f\left(x\right)}{W} dx +\bar{C}_{2} \right)y_{2} \left(x\right)\]

или, после упрощения

    \[y\left(x\right)=\bar{C}_{1} y_{1} \left(x\right)+\bar{C}_{2} y_{2} \left(x\right)-y_{1} \left(x\right)\int \frac{y_{2} f\left(x\right)}{W} dx +y_{2} \left(x\right)\int \frac{y_{1} f\left(x\right)}{W} dx \qquad (6)\]

ЗАМЕЧАНИЕ
Сравнивая полученное решение с решением однородного уравнения (3), делаем вывод, что первые два слагаемых в (6) есть общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка (1), а последние два слагаемых – частное решение неоднородного уравнения (1). Обозначив эти два слагаемых через y_{chastn} \left(x\right), получаем формулу для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка (1):

    \[y_{chastn} \left(x\right)=y_{2} \left(x\right)\int \frac{y_{1} f\left(x\right)}{W} dx -y_{1} \left(x\right)\int \frac{y_{2} f\left(x\right)}{W} dx \]

ЗАМЕЧАНИЕ
Метод Лагранжа является универсальным методом. Он позволяет найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (1), если известно общее решение соответствующего ему однородного дифференциального уравнения (2).
ПРИМЕР
Задание Решить дифференциальное уравнение y''+y=\sin 2x
Решение Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

    \[y''+y=0\]

Его характеристическое уравнение имеет вид:

    \[k^{2} +1=0\]

Его корни k_{1,2} =\pm i. То есть в данном случае корни комплексные и для них \alpha =0,\; \beta =1. Следовательно, решение однородного уравнения запишется в виде:

    \[y_{odn} \left(x\right)=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x\]

Варьируем произвольные постоянные: C_{1} =C_{1} \left(x\right), \quad C_{2} =C_{2} \left(x\right). То есть решение исходного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка будем искать в виде:

    \[y\left(x\right)=C_{1} \left(x\right)\cos x+C_{2} \left(x\right)\sin x\]

Для нахождения функций C_{1} \left(x\right) и C_{2} \left(x\right) составляем следующую систему уравнений:

    \[\left\{\begin{array}{l} {C'_{1} \left(x\right)\cos x+C'_{2} \left(x\right)\sin x=0,} \\ {C'_{1} \left(x\right)\left(\cos x\right)^{{'} } +C'_{2} \left(x\right)\left(\sin x\right)^{{'} } =\sin 2x,} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {C'_{1} \left(x\right)\cos x+C'_{2} \left(x\right)\sin x=0,} \\ {-C'_{1} \left(x\right)\sin x+C'_{2} \left(x\right)\cos x=\sin 2x.} \end{array}\right. \]

Из первого уравнения получаем, что

    \[C'_{1} \left(x\right)=-\frac{C'_{2} \left(x\right)\sin x}{\cos x} \]

Подставляя во второе уравнение системы, будем иметь:

    \[\frac{C'_{2} \left(x\right)\sin x}{\cos x} \sin x+C'_{2} \left(x\right)\cos x=\sin 2x\]

Тогда

    \[\frac{C'_{2} \left(x\right)\sin ^{2} x+C'_{2} \left(x\right)\cos ^{2} x}{\cos x} =\sin 2x\]

В числителе применяем основное тригонометрическое тождество и выражаем производную C'_{2} \left(x\right):

    \[C'_{2} \left(x\right)=\sin 2x\cos x\]

Получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции C_{2} \left(x\right). Интегрируем левую и правую части последнего равенства. В результате будем иметь:

    \[C_{2} \left(x\right)=\int \sin 2x\cos xdx =\int 2\sin x\cos x\cos xdx =2\int \cos ^{2} x\cdot \sin xdx =\]

    \[=-2\int \cos ^{2} xd\left(\cos x\right) =-2\cdot \frac{\cos ^{3} x}{3} +\bar{C}_{2} =-\frac{2\cos ^{3} x}{3} +\bar{C}_{2} \]

Найдем теперь функцию C_{1} \left(x\right). Поскольку

    \[C'_{1} \left(x\right)=-\frac{C'_{2} \left(x\right)\sin x}{\cos x} \]

то

    \[C'_{1} \left(x\right)=-\frac{\sin 2x\cos x\cdot \sin x}{\cos x} =-\sin 2x\sin x\]

Тогда

    \[C_{1} \left(x\right)=\int \left(-\sin 2x\sin x\right)dx =-\int 2\sin x\cos x\cdot \sin xdx =-2\int \sin ^{2} x\cdot \cos xdx =\]

    \[=-2\int \sin ^{2} xd\left(\sin x\right) =-2\cdot \frac{\sin ^{3} x}{3} +\bar{C}_{1} =-\frac{2\sin ^{3} x}{3} +\bar{C}_{1} \]

Таким образом, решение исходного неоднородного уравнения запишется в виде:

    \[y\left(x\right)=\left(\bar{C}_{1} -\frac{2\sin ^{3} x}{3} \right)\cos x+\left(\bar{C}_{2} -\frac{2\cos ^{3} x}{3} \right)\sin x=\]

    \[=\bar{C}_{1} \cos x+\bar{C}_{2} \sin x-\frac{2\sin ^{3} x\cos x}{3} -\frac{2\cos ^{3} x\sin x}{3} =\]

    \[=\bar{C}_{1} \cos x+\bar{C}_{2} \sin x-\frac{2\sin ^{3} x\cos x+2\cos ^{3} x\sin x}{3} =\]

    \[=\bar{C}_{1} \cos x+\bar{C}_{2} \sin x-\frac{2\sin x\cos x\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)}{3} =\bar{C}_{1} \cos x+\bar{C}_{2} \sin x-\frac{\sin 2x}{3} \]

Ответ y\left(x\right)=\bar{C}_{1} \cos x+\bar{C}_{2} \sin x-\frac{\sin 2x}{3}

Метод неопределенных коэффициентов

Если правая часть f\left(x\right) неоднородного дифференциального уравнения (1) представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию (или комбинацию указанных функций):

    \[f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)e^{ax},\qquad (7)\]

    \[f\left(x\right)=e^{\alpha x} \left[P_{n} \left(x\right)\cos \beta x+Q_{m} \left(x\right)\sin \beta x\right] \qquad (8)\]

то тогда решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.

В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения.

1) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (7), то частное решение ищем в виде:

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{ax} R_{n} \left(x\right)\cdot x^{s} \qquad (9)\]

где R_{n} \left(x\right) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами и s=0 при a, которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности a, где a — корень характеристического многочлена.

2) Если правая часть f\left(x\right) уравнения (1) имеет вид (8), то частное решение будем искать следующим образом:

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{\alpha x} \left[M_{k} \left(x\right)\cos \beta x+N_{k} \left(x\right)\sin \beta x\right]\cdot x^{s} \qquad (10)\]

Здесь k=\max \left\{m,\; n\right\}, \quad M_{k} \left(x\right),\; N_{k} \left(x\right) – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами и s=0 (\alpha \pm \beta i не является корнем характеристического многочлена), или s кратности \alpha \pm \beta i,\ \alpha \pm \beta i — корень характеристического многочлена.

Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение (1).

ТЕОРМА
(Принцип суперпозиции). Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (1) представляет собой сумму нескольких функций вида (7), (8), то частное решение такого уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.
ПРИМЕР
Задание Найти общее решение уравнения y''-8y'+20y=5xe^{4x} \sin 2x
Решение Рассмотрим однородное уравнение:

    \[y''-8y'+20y=0\]

Соответствующее характеристическое уравнение

    \[k^{2} -8k+20=0\]

Найдем его решение:

    \[D=\left(-8\right)^{2} -4\cdot 1\cdot 20=64-80=-16=\left(4i\right)^{2} \Rightarrow k_{1,2} =\frac{8\pm 4i}{2} =4\pm 2i\]

То есть решение однородного уравнения

    \[y_{odn} \left(x\right)=e^{4x} \left(C_{1} \cos 2x+C_{2} \sin 2x\right)\]

Частное решение исходного неоднородного уравнения будем искать по виду правой части f\left(x\right)=5xe^{4x} \sin 2x. Перепишем эту функцию следующим образом:

    \[f\left(x\right)=5xe^{4x} \sin 2x=e^{4x} \left(0\cdot \cos 2x+5x\cdot \sin 2x\right)\]

То есть правая часть неоднородного уравнения имеет вид (8). Тогда частное решение, согласно (10), ищем в виде:

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{4x} \left[\left(Ax+B\right)\cos 2x+\left(Cx+D\right)\sin 2x\right]\cdot x\]

Для нахождения неизвестных коэффициентов A,\; B,\; C и D подставим частное решение в исходное уравнение. Для этого найдем от него первую и вторую производные:

    \[y'_{chastn} \left(x\right)=\left(xe^{4x} \left[\left(Ax+B\right)\cos 2x+\left(Cx+D\right)\sin 2x\right]\right)^{{'} } =\]

    \[=\left(e^{4x} +4xe^{4x} \right)\left[\left(Ax+B\right)\cos 2x+\left(Cx+D\right)\sin 2x\right]+\]

    \[+xe^{4x} \left(A\cos 2x-2\left(Ax+B\right)\sin 2x+C\sin 2x+2\left(Cx+D\right)\cos 2x\right);\]

    \[y''_{chastn} \left(x\right)=\left(4e^{4x} +4e^{4x} +16xe^{4x} \right)\left[\left(Ax+B\right)\cos 2x+\left(Cx+D\right)\sin 2x\right]+\]

    \[+\left(e^{4x} +4xe^{4x} \right)\left(A\cos 2x-2\left(Ax+B\right)\sin 2x+C\sin 2x+2\left(Cx+D\right)\cos 2x\right)+\]

    \[+xe^{4x} \left(-2A\sin 2x-2A\sin 2x-4\left(Ax+B\right)\cos 2x+2C\cos 2x+\]

    \[+2C\cos 2x-4\left(Cx+D\right)\sin 2x\right)=\]

    \[=2e^{4x} \left[x^{2} \cos 2x\left(6A+8C\right)+x\cos 2x\left(8A+6B+4C+8D\right)+\cos 2x\left(A+4B+2D\right)+\right. \]

    \[+\left. x^{2} \sin 2x\left(6C-8A\right)+x\sin 2x\left(8C+6D-4A-8B\right)+\sin 2x\left(C+4D-2B\right)\right]\]

Подставляем полученные выражения в исходное дифференциальное уравнение y''-8y'+20y=5xe^{4x} \sin 2x. В результате упрощения будем иметь:

    \[2e^{4x} \left(4Cx\cos 2x+\cos 2x\left(A+2D\right)-4Ax\sin 2x+\sin 2x\left(C-2B\right)\right)=5xe^{4x} \sin 2x\]

Сокращаем левую и правую части последнего равенства на e^{4x} >0:

    \[8Cx\cos 2x+2\cos 2x\left(A+2D\right)-8Ax\sin 2x+2\sin 2x\left(C-2B\right)=5x\sin 2x\Rightarrow \]

    \[\left. \begin{array}{c} {x\cos 2x} \\ {\cos 2x} \\ {x\sin 2x} \\ {\sin 2x} \end{array}\right|\begin{array}{l} {8C=0} \\ {2A+4D=0} \\ {-8A=5} \\ {2C-4B=0} \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {C=0,} \\ {A=-\frac{5}{8} ,} \\ {B=0,} \\ {D=\frac{5}{16} .} \end{array}\right. \]

Итак,

    \[y_{chastn} \left(x\right)=xe^{4x} \left[-\frac{5}{8} x\cos 2x+\frac{5}{16} \sin 2x\right]=\frac{5xe^{4x} }{16} \left(\sin 2x-2x\cos 2x\right)\]

Таким образом, общее решение исходного неоднородного уравнения

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)=e^{4x} \left(C_{1} \cos 2x+C_{2} \sin 2x\right)+\frac{5xe^{4x} }{16} \left(\sin 2x-2x\cos 2x\right)\]

Ответ y\left(x\right)=e^{4x} \left(C_{1} \cos 2x+C_{2} \sin 2x\right)+\frac{5xe^{4x} }{16} \left(\sin 2x-2x\cos 2x\right)
ПРИМЕР
Задание Найти решение дифференциального уравнения y''-5y'=3x^{2} +\sin 5x
Решение Вначале найдем решение соответствующего однородного уравнения y''-5y'=0. Его характеристическое

    \[k^{2} -5k=0\Rightarrow k\left(k-5\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {k_{1} =0,} \\ {k_{2} =5.} \end{array}\right. \]

То есть

    \[y_{odn} \left(x\right)=C_{1} e^{0\cdot x} +C_{2} e^{5x} =C_{1} +C_{2} e^{5x} \]

Правая часть исходного неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций f_{1} \left(x\right)=3x^{2} и f_{2} \left(x\right)=\sin 5x. Тогда согласно принципу суперпозиции, частное решение заданного уравнения будет равно сумме частных решений, соответствующих каждой из указанных функций:

    \[y_{chastn} \left(x\right)=y_{chastn1} \left(x\right)+y_{chastn2} \left(x\right)\]

Первое частное решение

    \[f_{1} \left(x\right)=3x^{2} =3x^{2} \cdot e^{0\cdot x} \Rightarrow y_{chastn1} \left(x\right)=\left(Ax^{2} +Bx+C\right)x\]

Подставляем его в исходное уравнение, для этого находим производные первого и второго порядков:

    \[y'_{chastn1} \left(x\right)=\left(Ax^{3} +Bx^{2} +Cx\right)^{{'} } =3Ax^{2} +2Bx+C\]

    \[y''_{chastn1} \left(x\right)=\left(y'_{chastn1} \left(x\right)\right)^{{'} } =\left(3Ax^{2} +2Bx+C\right)^{{'} } =6Ax+2B\]

Тогда уравнение принимает вид:

    \[6Ax+2B-15Ax^{2} -10Bx-5C=3x^{2} \]

Для нахождения неизвестных коэффициентов используем тот факт, что два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях. В результате получаем систему:

    \[\left\{\begin{array}{l} {-15A=3,} \\ {6A-10B=0,} \\ {2B-5C=0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=-\frac{1}{5} ,} \\ {-\frac{6}{5} -10B=0,} \\ {2B-5C=0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=-\frac{1}{5} ,} \\ {B=-\frac{3}{25} ,} \\ {C=-\frac{6}{125} .} \end{array}\right. \]

А тогда

    \[y_{chastn1} \left(x\right)=\left(-\frac{x^{2} }{5} -\frac{3x}{25} -\frac{6}{125} \right)x=-\frac{x\left(25x^{2} +15x+6\right)}{125} \]

Второй функции

    \[f_{2} \left(x\right)=\sin 5x=e^{0\cdot x} \left(0\cdot \cos 5x+1\cdot \sin 5x\right)\]

отвечает частное решение следующей структуры:

    \[y_{G0AB2} \left(x\right)=A_{1} \cos 5x+B_{1} \sin 5x\]

Подставляем в исходное уравнение:

    \[y'_{G0AB2} \left(x\right)=-5A_{1} \sin 5x+5B_{1} \cos 5x\]

    \[y''_{G0AB2} \left(x\right)=-25A_{1} \cos 5x-25B_{1} \sin 5x\]

Тогда

    \[-25A_{1} \cos 5x-25B_{1} \sin 5x+25A_{1} \sin 5x-25B_{1} \cos 5x=\sin 5x\]

    \[\left. \begin{array}{c} {\sin 5x} \\ {\cos 5x} \end{array}\right|\begin{array}{l} {-25B_{1} +25A_{1} =1,} \\ {-25A_{1} -25B_{1} =0} \end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A_{1} =\frac{1}{50} ,} \\ {B_{1} =-\frac{1}{50} .} \end{array}\right. \]

То есть

    \[y_{G0AB2} \left(x\right)=\frac{\cos 5x}{50} -\frac{\sin 5x}{50} =\frac{\cos 5x-\sin 5x}{50} \]

Таким образом, решение исходного неоднородного дифференциального уравнения

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{G0AB1} \left(x\right)+y_{G0AB2} \left(x\right)=\]

    \[=C_{1} +C_{2} e^{5x} -\frac{x\left(25x^{2} +15x+6\right)}{125} +\frac{\cos 5x-\sin 5x}{50} \]

Ответ y\left(x\right)=C_{1} +C_{2} e^{5x} -\frac{x\left(25x^{2} +15x+6\right)}{125} +\frac{\cos 5x-\sin 5x}{50}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.