Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциальные уравнения высших порядков

Определение и формулы дифференциальных уравнений высших порядков

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальным уравнением n-го порядка \left(n>1\right) называется уравнение вида:

    \[f\left(x;\; y;\; y';...;\; y^{\left(n\right)} \right)=0 \qquad (1)\]

Здесь x – независимая переменная, y=y\left(x\right) – искомая функция, определенная и n раз дифференцируемая на промежутке \left(a;\; b\right).

Решение дифференциальных уравнений высших порядков

Функция y=y\left(x\right) называется решением дифференциального уравнения (1), если она обращает это уравнение в тождество.

Решение включает в себя n произвольных постоянных и имеет следующий вид:

    \[F\left(x;\; C_{1} ;...;\; C_{n} \right)=0\]

Задача Коши для дифференциального уравнения (1) заключается в следующем: найти такое решение (функцию) y=y\left(x\right) дифференциального уравнения (1),чтобы эта функция и ее производные до порядка \left(n-1\right) включительно при заданном значении аргумента x=x_{0} принимали бы заданные значения. То есть указанное решение должно удовлетворять условиям

    \[y\left(x_{0} \right)=y_{0} ,\; y'\left(x_{0} \right)=y'_{0} ,...,\; y^{\left(n-1\right)} \left(x_{0} \right)=y_{0}^{\left(n-1\right)} \]

ЗАМЕЧАНИЕ
Значение искомой функции и вех ее производных до порядка \left(n-1\right) включительно задаются при одном и том же значении x=x_{0} независимой переменной.

Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) называется краевой, если значения искомого решения – функции y=y\left(x\right) и, возможно, ее производных задаются при различных значениях независимой переменной, на концах некоторого фиксированного интервала.

Понижение порядка в ДУ высших порядков

Некоторые уравнения высших порядков допускают понижение порядка.

1) Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную:

    \[F\left(x;\; y^{\left(n\right)} \right)=0 \qquad (2)\]

Если это уравнение удается разрешить относительно производной y^{\left(n\right)}, то оно принимает вид:

    \[y^{\left(n\right)} =f\left(x\right)\]

Общее решение этого уравнения

    \[y\left(x\right)=\underbrace{\smallint dx\smallint dx...\smallint f\left(x\right)dx}_{n} +C_{1} +C_{2} x+C_{3} x^{2} +...+C_{n} x^{n-1} \]

то есть для нахождения искомого решения y=y\left(x\right) функцию f\left(x\right) необходимо n раз проинтегрировать.

ПРИМЕР
Задание Найти решение дифференциального уравнения y'''=\frac{1}{x}
Решение Для нахождения решения трижды проинтегрируем функцию f\left(x\right)=\frac{1}{x}:

    \[y''=\int \frac{1}{x} dx =\ln \left|x\right|+C_{1} \]

    \[y'=\int \left(\ln x+C_{1} \right)dx =\int \ln xdx +C_{1} \int dx \]

Первый из интегралов \int \ln xdx найдем методом интегрирования по частям:

    \[\int \ln xdx \; \left\| \begin{array}{cc} {u=\ln x} \qquad {dv=dx} \\ {du=\frac{dx}{x} } \qquad {v=x} \end{array}\right\| =\ln x\cdot x-\int x\cdot \frac{dx}{x} =x\ln x-\int dx =x\ln x-x+\tilde{C}_{2} \]

Второй интеграл

    \[C_{1} \int dx =C_{1} x+C'_{2} \]

То есть

    \[y'=x\ln x-x+C_{1} x+C_{2} \]

И, наконец, окончательно получаем, что

    \[y=\int \left(x\ln x-x+C_{1} x+C_{2} \right)dx =\]

    \[=\int x\ln xdx -\int xdx +C_{1} \int xdx +C_{2} \int dx \; \left\| \begin{array}{cc} {u=\ln x}  \qquad  {dv=xdx} \\ {du=\frac{dx}{x} }  \qquad  {v=\frac{x^{2} }{2} } \end{array}\right\| =\]

    \[=\frac{x^{2} \ln x}{2} -\int \frac{x^{2} }{2} \cdot \frac{dx}{x} -\frac{x^{2} }{2} +C_{1} \cdot \frac{x^{2} }{2} +C_{2} x=\frac{x^{2} \ln x}{2} -\int \frac{xdx}{2} -\frac{x^{2} }{2} +\frac{C_{1} x^{2} }{2} +C_{2} x=\]

    \[=\frac{x^{2} \ln x}{2} -\frac{x^{2} }{4} -\frac{x^{2} }{2} +\frac{C_{1} x^{2} }{2} +C_{2} x+C_{3} =\frac{x^{2} \ln x}{2} -\frac{3x^{2} }{4} +\frac{C_{1} x^{2} }{2} +C_{2} x+C_{3} \]

Ответ y\left(x\right)=\frac{x^{2} \ln x}{2} -\frac{3x^{2} }{4} +\frac{C_{1} x^{2} }{2} +C_{2} x+C_{3}

2) Уравнения, не содержащие искомой функции y=y\left(x\right). Уравнения такого типа имеют вид:

    \[f\left(x;\; y';...;\; y^{\left(n\right)} \right)=0 \qquad (3)\]

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой

    \[y'=z\left(x\right)\]

где z\left(x\right) – новая неизвестная функция. Тогда

    \[y''=z'\left(x\right),...,\; y^{\left(n\right)} =z^{\left(n-1\right)} \]

В результате получим уравнение

    \[f\left(x;\; z;\; z';...;\; z^{\left(n-1\right)} \right)=0\]

ЗАМЕЧАНИЕ
Если уравнение (3) не содержит ни искомой функции y\left(x\right), ни ее производных до порядка \left(k-1\right) включительно:

    \[f\left(x;\; y^{\left(k\right)} ;\; y^{\left(k+1\right)} ...;\; y^{\left(n\right)} \right)=0 \qquad (4)\]

то его порядок можно понизить на k единиц, сделав подстановку

    \[y^{\left(k\right)} =z\left(x\right)\]

После нахождения неизвестной функции p\left(x\right) уравнение (4) будет сведено к уравнению вида (2).

ПРИМЕР
Задание Проинтегрировать уравнение \left(1-x^{2} \right)y''-xy'=2
Решение Поскольку заданное уравнение явно не содержит искомую функцию y\left(x\right), то введем в рассмотрение новую функцию

    \[y'=z\left(x\right)\]

тогда

    \[y''=z'\]

а уравнение принимает вид:

    \[\left(1-x^{2} \right)z'-xz=2\]

Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

    \[z'-\frac{x}{1-x^{2} } z=\frac{2}{1-x^{2} } \]

Его решение ищем в виде:

    \[z\left(x\right)=u\left(x\right)v\left(x\right)\Rightarrow z'=\left(uv\right)^{{'} } =u'v+uv'\]

и тогда

    \[u'v+uv'-\frac{x}{1-x^{2} } uv=\frac{2}{1-x^{2} } \]

    \[u'v+u\left(v'-\frac{x}{1-x^{2} } v\right)=\frac{2}{1-x^{2} } \]

Функции u\left(x\right) и v\left(x\right) подбираются таким образом, чтобы выражение v'-\frac{x}{1-x^{2} } v, стоящее в скобках, равнялось нулю. Итак, полученное уравнение распадается на два:

    \[v'-\frac{x}{1-x^{2} } v=0,\qquad (5)\]

    \[u'v=\frac{2}{1-x^{2} } \qquad (6)\]

Уравнение (5) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим их:

    \[\frac{dv}{dx} =\frac{x}{1-x^{2} } v\Rightarrow \frac{dv}{v} =\frac{x}{1-x^{2} } dx\]

Общий интеграл полученного уравнения

    \[\int \frac{dv}{v} =\int \frac{x}{1-x^{2} } dx \Rightarrow \ln \left|v\right|=-\frac{1}{2} \int \frac{d\left(1-x^{2} \right)}{1-x^{2} } =-\frac{1}{2} \ln \left|1-x^{2} \right|=\ln \frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \Rightarrow  \]

    \[ \Rightarrow v\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } \]

После нахождения функции v дифференциальное уравнение (6) принимает вид:

    \[u'\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } =\frac{2}{1-x^{2} } \Rightarrow u'=\frac{2}{\sqrt{1-x^{2} } } \Rightarrow u\left(x\right)=\int \frac{2dx}{\sqrt{1-x^{2} } } =2\arcsin x+C\]

Таким образом,

    \[z\left(x\right)=u\left(x\right)v\left(x\right)=\left(2\arcsin x+C\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2} } } =\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2} } } +\frac{C}{\sqrt{1-x^{2} } } \]

Делаем обратную замену:

    \[z\left(x\right)=y'\left(x\right)=\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2} } } +\frac{C}{\sqrt{1-x^{2} } } \Rightarrow y\left(x\right)=\int \left(\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2} } } +\frac{C}{\sqrt{1-x^{2} } } \right)dx =\]

    \[=2\int \frac{\arcsin xdx}{\sqrt{1-x^{2} } } +C\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2} } } =2\int \arcsin xd\left(\arcsin x\right) +C\arcsin x=\]

    \[=2\cdot \frac{\arcsin ^{2} x}{2} +C\arcsin x+C_{1} =\arcsin ^{2} x+C\arcsin x+C_{1} \]

Ответ y\left(x\right)=\arcsin ^{2} x+C\arcsin x+C_{1}

3) Уравнения, не содержащие независимой переменной x. Подобные уравнения в общем случае имеют следующий вид:

    \[f\left(y;\; y';...;\; y^{\left(n\right)} \right)=0 \qquad (7)\]

Порядок такого дифференциального уравнения можно понизить на единицу заменой

    \[y'=p\left(y\right)\]

где p\left(y\right) – новая искомая функция, при этом в качестве независимой переменной понимается переменная y, а не x. Тогда

    \[y''=\left(p\left(y\right)\right)^{{'} } =p'\left(y\right)\cdot y'=p'p\]

    \[y'''=\left(p'p\right)^{{'} } =p''y'\cdot p+p'\cdot p'y'=p''p\cdot p+p'\cdot p'p=p''p^{2} +\left(p'\right)^{2} p,\dots \]

Итак, после замены уравнение (7) принимает вид:

    \[f\left(y;\; p;\; p';\; ...;\; p^{\left(n-1\right)} \right)=0\]

После решения последнего уравнения относительно неизвестной функции p\left(y\right), делаем обратную замену

    \[y'=p\left(y\right)\]

Записанное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка, из которого определяется искомая функция y=y\left(x\right).

ПРИМЕР
Задание Решить дифференциальное уравнение y''=e^{y}
Решение Поскольку данное уравнение не содержит независимой переменной x, то его порядок можно понизить на единицу. Для этого делаем замену

    \[y'=p\left(y\right)\Rightarrow y''=p'p\]

Итак, заданное уравнение относительно новой неизвестной функции p\left(y\right) принимает вид:

    \[p'p=e^{y} \]

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделим их:

    \[\frac{dp}{dy} p=e^{y} \Rightarrow pdp=e^{y} dy\]

Общий интеграл уравнения:

    \[\int pdp =\int e^{y} dy \]

После интегрирования получаем:

    \[\frac{p^{2} }{2} =e^{y} +C\]

Находим, что

    \[p^{2} =2e^{y} +2C\Rightarrow p=\pm \sqrt{2e^{y} +2C} \]

Сделав замену 2C=C_{1}, будем иметь:

    \[p=\pm \sqrt{2e^{y} +C_{1} } \]

То есть

    \[y'=\frac{dy}{dx} =\pm \sqrt{2e^{y} +C_{1} } \]

Разделяя переменные, получим:

    \[\frac{dy}{\sqrt{2e^{y} +C_{1} } } =\pm dx\]

Общий интеграл этого уравнения

    \[\int \frac{dy}{\sqrt{2e^{y} +C_{1} } } =\pm \int dx \]

Найдем интеграл, стоящий в левой части последнего равенства:

    \[\int \frac{dy}{\sqrt{2e^{y} +C_{1} } } \; \left\| \begin{array}{l} {2e^{y} +C_{1} =t^{2} } \\ {2e^{y} dy=2tdt} \\ {dy=\frac{tdt}{e^{y} } } \\ {e^{y} =\frac{t^{2} -C_{1} }{2} } \\ {dy=\frac{2tdt}{t^{2} -C_{1} } } \end{array}\right\| =\int \frac{\frac{2tdt}{t^{2} -C_{1} } }{\sqrt{t^{2} } } =\int \frac{2dt}{t^{2} -C_{1} } =2\cdot \frac{1}{2\sqrt{C_{1} } } \ln \left|\frac{t-C_{1} }{t+C_{1} } \right|+\tilde{C}_{1} =\]

    \[=\frac{1}{\sqrt{C_{1} } } \ln \left|\frac{\sqrt{2e^{y} +C_{1} } -C_{1} }{\sqrt{2e^{y} +C_{1} } +C_{1} } \right|+\tilde{C}_{1} \]

Второй интеграл

    \[\pm \int dx =\pm x+C'_{1} \]

Тогда искомое решение

    \[\frac{1}{\sqrt{C_{1} } } \ln \left|\frac{\sqrt{2e^{y} +C_{1} } -C_{1} }{\sqrt{2e^{y} +C_{1} } +C_{1} } \right|=\pm x+C_{2} \]

Ответ \frac{1}{\sqrt{C_{1} } } \ln \left|\frac{\sqrt{2e^{y} +C_{1} } -C_{1} }{\sqrt{2e^{y} +C_{1} } +C_{1} } \right|=\pm x+C_{2}