Аксиомы стереометрии

Основные аксиомы стереометрии

Неопределяемыми или основными понятиями в стереометрии являются точка, прямая, плоскость.

Все аксиомы планиметрии имеют место и в стереометрии.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах:

. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости и точки, не принадлежащие ей.

. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.

. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	точки не лежат в одной плоскости. Доказать, что прямые и не пересекаются.
Доказательство	Докажем методом от противного. Допустим, что прямые и пересекаются. Тогда, по аксиоме , через них можно провести плоскость, которой принадлежат эти прямые. Это означает, что точки также принадлежат этой плоскости, что противоречит условию. Предположение неверно. Прямые и не пересекаются. Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2

Задание	Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой , и прямая , которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые и пересекаются.
Доказательство	Рассмотрим плоскости и (рис. 1) Согласно аксиоме , если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Плоскости и пересекаются по прямой , а значит, она принадлежит одновременной обеим плоскостям. Следовательно, прямые и лежат в плоскости . Поскольку пересекает плоскость , то, очевидно, пересекает и прямую . Что и требовалось доказать.