Аксиомы планиметрии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Планиметрия – это раздел геометрии, который изучает геометрические фигуры на плоскости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства.

Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур.

Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая.

Основные аксиомы планиметрии

Аксиомы планиметрии делятся на 5 групп.

Аксиомы принадлежности
1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей.

1.2 Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Аксиомы расположения
2.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Аксиомы измерения
3.1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен $180^{\circ}$ . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Аксиомы откладывания.
4.1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и притом только один.

4.2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол, с заданной градусной мерой, меньшей $180^{\circ}$ и притом только один.

4.3 Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему, в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Аксиома параллельности.
5.1 Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

На отрезке $AB$ отметили точку $O$ , а точки $K$ и $M$ являются серединами отрезков $AO$ и $OB$ . Найти длину отрезка $AB$ , если $KM=8$ см.

Решение

Согласно аксиоме 3.1 длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. Значит,

$AB=AK+KO+OM+MB$

Поскольку $K$ и $M$ являются серединами отрезков $AO$ и $OB$ , то $AK=KO$ и $OM=MB$ , а $KM=KO+OM=8$ см. Следовательно,

$AB=KO+KO+OM+OM=2(KO+OM)=2KM=16$ см

Ответ

$AB=16$ см

ПРИМЕР 2

Задание

Луч, лежащий между сторонами угла, разбивает его на два угла. Доказать, биссектрисы этих углов образуют угол, вдвое меньший величины заданного угла.

Доказательство

Рассмотрим $\angle BAC$ и проведем луч $AK$ , который разделит его на два угла. В образованных углах $BAK$ и $KAC$ проведем биссектрисы $AM$ и $AT$ . Согласно аксиоме 3.2, градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонам, т.е.

$\angle BAC=\angle BAK+\angle KAC$

Тогда

$\angle MAT=\angle MAK+\angle KAT=\frac{1}{2} \angle BAK +\frac{1}{2} \angle KAC=\frac{1}{2} \angle BAC$

Что и требовалось доказать.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Аксиомы планиметрии

Основные аксиомы планиметрии

Примеры решения задач