Аксиомы геометрии

Построение геометрии как науки состоит из выбора основных геометрических понятий, формулирование основных свойств для этих геометрических понятий с помощью утверждений, которые считаются истинными без доказательства и построение других понятий. Такое построение называют аксиоматическим.

Можно рассматривать геометрию на плоскости и в пространстве. Геометрия на плоскости называется планиметрией, в пространстве – стереометрией.

Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая, а в стереометрии – точка, прямая и плоскость.

Основные аксиомы геометрии

Аксиомы геометрии можно разбить на пять групп.

1. Аксиомы принадлежности

1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей и не принадлежащие ей.

1.2 Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

1.3 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости и точки, не принадлежащие ей.

2. Аксиомы расположения

2.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

2.3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну.

2.4 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Аксиомы измерения

3.1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

4. Аксиомы откладывания.

4.1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины и притом только один.

4.2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол, с заданной градусной мерой, меньшей и притом только один.

4.3 Каков бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему, в заданном расположении относительно данной полупрямой.

5. Аксиома параллельности.

5.1 Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Две плоскости и пересекаются по прямой . Прямые и пересекаются. Где находится точка пересечения прямых и ?
Решение	Если две плоскости пересекаются по прямой, то все точки этой прямой принадлежат одновременно и первой и второй плоскостям. Поскольку прямые и лежат в разных плоскостях и при этом пересекаются, значит, точка их пересечения принадлежит обеим плоскостям и, очевидно, лежит на прямой .
Ответ	Точка пересечения прямых и находится на прямой .

ПРИМЕР 2

Задание	Определить, какое максимальное возможное количество плоскостей можно провести через 3 данных луча с общей начальной точкой (никакие два луча не лежат на одной прямой)?
Решение	Согласно аксиоме 2.3 через любые две прямые имеющие общую точку можно провести единственную плоскость. Поэтому, если заданные три луча не лежат в одной плоскости, то их можно разбить на три различных пары лучей. Тогда максимально возможное количество плоскостей, которое можно провести равно трем.
Ответ	Через 3 данных луча максимально можно провести три плоскости.