Аксиома параллельных прямых
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. (рис. 1)
Обозначение:
Аксиома параллельных прямых
АКСИОМА
Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной (рис. 2).
Следствия из аксиомы параллельности
Следствие 1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую: (рис. 3)
Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны: (рис. 4)
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | Доказать, что если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны. |
Доказательство | Предположим противное, пусть . Тогда от луча можно отложить единственный . Углы и накрест лежащие и равные, тогда прямые и параллельные. Значит, через точку проходят две прямые, параллельные прямой . Получаем противоречие с аксиомой. Следовательно, .
Что и требовалось доказать. |
ПРИМЕР 2
Задание | Доказать, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.
|
Доказательство | Пусть прямые и параллельные, а прямая перпендикулярна прямой . Значит, прямая пересекает и прямую , т.е. – секущая по отношению к и . Тогда , так как они являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, т.е. прямые и – перпендикулярны.
Что и требовалось доказать. |